Говорят, что квадратная матрица 
с элементами из поля 
приводится к диагональному виду над , если существует невырожденная квадратная матрица 
с элементами из такая, что матрица 
– диагональная.
Теорема 15.8 (критерий приводимости квадратной матрицы к диагональному виду). Для того чтобы квадратная матрица n-го порядка приводилась к диагональному виду над полем необходимо и достаточно, чтобы все корни 
ее характеристического уравнения принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие
, (15.17)
где 
– кратность корня характеристического уравнения матрицы .
В том случае, когда все характеристические числа матрицы различны и принадлежат полю , эта матрица приводится к диагональному виду над . Если приводится к диагональному виду – матрице 
, то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы , а матрица , приводящая к диагональному виду, есть не что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.
Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем Р. 1. Составляем характеристический многочлен матрицы и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то к диагональному виду не приводится.
2. Если все корни характеристического уравнения принадлежат полю , то для кратных корней проверяем условие (15.17) (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней условие (15.17) не выполняется, то к диагональному виду не приводится.
3. Если для каждого из собственных значений условие (15.17) выполняется, то к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения 
в произвольном порядке, причем каждое из значений повторяется столько раз, какова его кратность.
4. Для каждого из найденных собственных значений находим максимальное количество линейно независимых собственных векторов и составляем из них базис, причем порядок векторов в базисе определяется матрицей : 
-й вектор базиса –это собственный вектор, соответствующий собственному значению, расположенному на -м месте диагонали матрицы .
5) Составляем матрицу , приводящую к диагональному виду, – матрицу перехода от исходного базиса к построенному базису из собственных векторов. Для этого в столбцы матрицы записываем координатные столбцы соответствующих векторов построенного базиса. Следует заметить, что матрица находится неоднозначно.
Пример 15.35. Проверить, приводится ли матрица к диагональному виду. Если приводится, найти этот диагональный вид и невырожденную матрицу , приводящую нему.
.
►Составляем и решаем характеристическое уравнение:
.
Матрица имеет только одно собственное значение 
, но его кратность равна трем. Проверяем выполнение условия (15.17):
.
Условие не выполняется, значит, матрица к диагональному виду не приводится.
Следует заметить, если кратность собственного значения не диагональной матрицы совпадает с ее порядком, то она к диагональному виду не приводится.◄
Пример 15.36. Проверить, приводится ли матрица к диагональному виду. Если приводится, найти этот диагональный вид и невырожденную матрицу , приводящую нему.
.
► Решение опять проводим по намеченному плану.
1. 
–
.
2. Проверяем выполнение условия (8.20) для кратного корня 
:
. (15.18)
Таким образом, 
, условие выполняется, матрица к диагональному виду приводится.
3. 
.
4. Так как 
, то 
, т. е для первого собственного значения можно найти два линейно независимых собственных вектора. По одной из строк матрицы (15.18), разделив все ее элементы на общий множитель, выписываем единственное линейно независимое уравнение 
для отыскания координат собственных векторов и решаем его: 
. В качестве двух линейно независимых решений можно взять, например, следующие: 
, 
(фундаментальную систему решений). Для второго собственного значения собственный вектор находим, используя алгебраические дополнения к элементам третьей строки матрицы, предварительно разделив все ее строки на общий множитель, что решения системы не изменяет.
: 
; 
, 
.
5. 
.◄
Пример 15.37. Проверить, приводится ли матрица к диагональному виду а) над полем действительных чисел; б) над полем комплексных чисел. Если приводится, найти этот диагональный вид и невырожденную матрицу Т, приводящую нему.
.
►1. 
; 
.
2. а) Так как характеристический многочлен имеет комплексные корни, то над полем действительных чисел матрица к диагональному виду не приводится.
б) Над полем комплексных чисел матрица к диагональному виду приводится, так как все корни однократны.
3. 
.
4. Для первого и второго собственных значений при решении системы используем алгебраические дополнения к элементам третьей строки:
: 
; 
, 
;
: 
; 
, 
.
Третий собственный вектор находим как комплексно сопряженный второму: 
.
5. 
.◄
Пример 15.38. Проверить, приводится ли матрица к диагональному виду над полем комплексных чисел. Если приводится, найти этот диагональный вид и невырожденную матрицу , приводящую нему.
.
►1.
; 
.
2.Все корни однократны, поэтому матрица приводится к диагональному виду.
3. 
.
4. Все собственные векторы будем искать с помощью алгебраических дополнений к элементам первой строки.
: 
; 
= 
;
: 
; 
, 
;
: 
; 
= 
.
5. 
.◄
Замечание. Обратите внимание на следующий интересный факт: в примере 15.37 исходная матрица действительная, а ее диагональный вид – матрица комплексная, а в примере 15.38 наоборот: исходная матрица комплексная, а ее диагональный вид – действительная. Попробуйте обосновать этот факт теоретически.
Присоединенные векторы
Если 
– собственное значение линейного оператора 
, а система векторов 
пространства 
удовлетворяет условиям:
то вектор 
, называется i-мприсоединенным вектором к собственному вектору 
линейного оператора 
.
Теорема 15.9. Пусть – линейное пространство над полем 
. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю , то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора , причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения.
Выберем в пространстве какой-либо базис и обозначим 
матрицу линейного оператора 
в этом базисе, 
– координатные столбцы векторов 
соответственно в том же базисе. Для нахождения присоединенных векторов следует решить систему линейных уравнений
. (15.19)
Таким образом, получаем следующее
Правило нахождения присоединенных векторов. 1. Находим собственные значения матрицы , решая ее характеристическое уравнение.
2. Для всех собственных значений находим собственные векторы , решая однородную систему 
. Число 
линейно независимых собственных векторов с собственным значением равно 
, где 
– размерность линейного пространства (или порядок матрицы ). Если собственное значение имеет кратность , то общее количество присоединенных векторов, соответствующих всем собственным векторам с этим собственным значением, равно 
.
3. Для каждого из найденных собственных векторов находим присоединенные к ним (если они существуют). Из (15.19) видно, что для отыскания i -го присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов для отыскания первого присоединенного берется координатный столбец соответствующего собственного вектора, а для всех последующих – координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.
Пример 15.39. Найти базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей .
.
∆ Решаем задачу по плану, приведенному в начале параграфа.
1. Ищем собственные значения:
.
Характеристическое уравнение 
имеет единственный корень 
, кратность которого равна 3.
2. Определяем количество собственных и присоединенных векторов:
,
. Значит, в искомом базисе – один собственный вектор и два присоединенных к нему. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей 
.
. (15.20)
Получаем систему:
В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение 
.
3. Находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (15.20) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов (только этот столбец!) по намеченным стрелкам:
.
Получаем систему
(15.21)
Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (15.21): 
. Чтобы найти второй, дописываем к цепочке (15.20) еще и координатный столбец вектора в качестве столбца свободных членов и пересчитываем его по намеченным стрелкам (опять же только этот столбец):
по полученной матрице выписываем систему, не обращая внимания на предыдущий столбец свободных членов:
(15.22)
Частное решение системы (15.22) и будет вторым присоединенным вектором: 
.
Итак, искомый базис: 
– собственный; – 1-й присоединенный; 
– 2-й присоединенный векторы. ▲
Замечания. 1. В данном случае собственный вектор можно найти и при помощи алгебраических дополнений. Но это невыгодно, так как все равно придется решать систему для отыскания присоединенных векторов.
2. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам. Конечно, можно каждую из систем решать отдельно, но приведенный метод позволяет проводить вычисления гораздо быстрее.
3. Приведенный метод решения систем позволяет быстро обнаружить допущенную ошибку: при верном решении во всех системах пропорциональными оказываются одни и те же строки.
4. Искомый базис строится неоднозначно. Если вы нашли какой-то собственный вектор, то любой коллинеарный ему также будет собственным с тем же самым собственным значением. Для присоединенных векторов это утверждение неверно. Если вас по каким-либо причинам найденный присоединенный вектор не устаивает (например, имеет дробные координаты), то изменить его вы можете, только придав свободным неизвестным другие значения.
Пример 15.40. Найти базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей , если
.
∆ Ищем собственные значения:
|
|
.
Находим собственные векторы:
(15.23)
, 
, значит, в искомом базисе два собственных вектора и у одного из них есть присоединенный. Общее решение однородной системы с матрицей (15.23): 
. Придавая свободным неизвестным значения, как обычно, по строкам единичной матрицы, получаем два линейно независимых собственных вектора 
и 
. Если выбрать в качестве столбца свободных членов координатный столбец одного из найденных собственных векторов, получим систему с расширенной матрицей
или 
.
Очевидно, обе эти системы несовместны. Это говорит о том, что мы неправильно выбрали собственные векторы. В рассматриваемом случае получилась целая плоскость собственных векторов, а присоединенные есть только у векторов одного направления. Чтобы выбрать подходящий собственный вектор, в качестве столбца свободных членов берем общее решение однородной системы:
.
Свободным неизвестным подбираем такие значения, чтобы получилась совместная неоднородная система, например, 
. В этом случае первым вектором в базисе будет собственный 
, для отыскания присоединенного к нему из последней системы получаем уравнение 
, одним из частных решений которого будет 
(присоединенный вектор). Третьим вектором в искомом базисе следует взять еще один собственный вектор, т.е. еще одно частное решение однородной системы. Чтобы гарантировать линейную независимость векторам и , в общем решении системы свободным неизвестным следует придать значения по строкам любой невырожденной матрицы. Для нахождения мы уже использовали строку 
, вторая строка выбирается произвольно, лишь бы матрица получилась невырожденная. Возьмем, к примеру, строку 
. Тогда 
.
Итак, искомый базис: 
– собственный; – присоединенный к нему; 
– собственный. ▲ 