Метод узловых потенциалов

Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Получим алгоритм расчета цепей методом контурных токов на примере схемы, приведенной на рисунке. В цепи три независимых контура. Предположим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток в указанном направлении. Для каждого из контуров составим уравнения по II закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви для контурных токов I ₁₁ и I ₂₂ (ветвь bd, содержащая сопротивление R ₂) протекает ток I ₁₁ - I ₂₂, по смежной ветви для контурных токов I ₃₃ и I ₂₂ (ветвь dс, содержащая сопротивление R ₅) протекает ток I ₃₃ - I ₂₂, по смежной ветви для контурных токов I ₁₁ и I ₃₃ (ветвь аd, содержащая сопротивление R ₄) протекает ток I ₁₁ - I ₃₃.

Схема для получения уравнений в методе контурных токов.

Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура принимают следующий вид:

Сгруппируем слагаемые при одноименных токах:

Введем обозначения:

В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:

Систему уравнений можно представить в матричной форме

Собственное сопротивление контура (R_ii) представляет собой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, находящихся в i -ом контуре.

Взаимное сопротивление i -го и j -го контуров (R_ij = R_ji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i -ому и j -ому контурам. В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно. Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке. В этом случае сопротивления в эту сумму будут всегда входить со знаком «–».

Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с обходом контура, со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.

Решение полученной системы можно выполнить методом Крамера

,

Соответствующие определители матриц составлены из коэффициентов уравнений:

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей. В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R ₁, R ₃, R ₆ на рис. 1.29), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют фактические токи ветвей. Например, в ветви с со­противлением R ₂ протекающий сверху вниз ток равен разности I ₂ = I ₁₁ - I ₂₂.

 

 

Метод узловых потенциалов

Метод базируется на первом законе Кирхгофа. Неизвестными для метода являются узловые потенциалы. Потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Такое предположение допустимо, так как ток каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов, приложенной к ветви.

Пусть потенциал узла 4 равен нулю. Произвольно выберем направления токов в ветвях и составим уравнения для остальных узлов на основании первого закона Кирхгофа:

Схема цепи для расчета методом узловых потенциалов.

1 узел: ; 2 узел: ; 3 узел: .

Токи в ветвях на основании закона Ома выражаются: , где

- напряжение на зажимах ветви; знаки перед U_ад и E выбираются в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление тока I с положительными аправлениями U_ад и E. Тогда токи ветвей: ; ; ;

; .

Найденные уравнения подставляются в исходную систему уравнений, составленную по первому закону Кирхгофа. Выполнив группировки членов уравнения с одинаковым значением потенциалов, получаем новую систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ ₁, φ ₂, φ ₃:

В результате решения системы уравнений получают значения потенциалов узлов, на основании которых можно определить напряжения между узлами и по закону Ома определить токи в ветвях.

Найденные потенциалы могут иметь различные знаки. С этими знаками значения потенциалов подставляются в уравнения для нахождения токов.

Систему уравнений можно составлять по схеме замещения цепи не прибегая к получению системы уравнений из первого закона Кирхгофа. Для чего разберем структуру любого уравнения, например, первого. Потенциал первого узла φ ₁ умножается на сумму проводимостей всех ветвей, образующих данный узел: G₁+G₂+G₃. Со знаком “минус” записываются слагаемые вида φ_kG _{1 k}, где G _{1 k} – проводимость k -ой ветви, входящей в рассматриваемый узел, φ_k – потенциал соседнего (смежного) узла.

В правой части уравнения слагаемые вида E_iG_i записываются со знаком “плюс” в том случае, если источник ЭДС направлен к рассматриваемому узлу, в противном случае – со знаком “минус”.

В окончательном виде система уравнений для узловых потенциалов приобретает следующий вид:

и в матричной форме

Собственная проводимость узла (G_ii) представляет собой сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i -ом узле.
Общая проводимость i -ого и j -ого узлов (G_ij = G_ji) представляет собой взятую со знаком «минус» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i- ому и j- ому узлам.
Узловой ток (J_ii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i- ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i- ом узле. Со знаком «плюс» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «минус» остальные.

Решение полученной системы уравнений в общем случае может выполняться, например, методом Крамера при помощи определителей:

Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:

Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая:

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел и пронумеровать все остальные узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.

4. Записать систему уравнений в алгебраической форме:

или в матричной

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.

Метод двух узлов

Для разветвленной цепи, имеющей только два узла и произвольное количество ветвей, метод узловых потенциалов вырождается в метод двух узлов. Решение сводится к отысканию значения потенциала одного из узлов.

Разветвленная цепь с двумя узлами.

Пусть, к примеру, φ ₂ = 0. Система уравнений превращается в одно уравнение:

После определения U ₁₂ токи ветвей находят при помощи обобщенного закона Ома.

.

Проверка правильности полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа. Пример: R ₁=2 Ом, R ₂=1 Ом, R ₃=4 Ом, E ₁=8 В, Е ₂=6 В, J =5,5 А.

Схема примера для расчета методом двух узлов.

1. Задаем положительные направления токов к верхнему узлу, а нижний узел 2 заземлим (считаем φ ₂=0).

2. Из общей методики для двух узлов получим уравнение

Откуда
3. Определяем токи

_{Пунктиром на схеме показаны фактические направления токов} I _{2 и} I _{3 .}

4. Составляем баланс мощностей

— мощности потребителей;

— мощности источников.

Расчет верен.