Биномиальный закон распределения. Пусть производится 
независимых испытаний, в каждом из которых событие 
может появиться или не появиться. Вероятность появления события во всех испытаниях постоянна и равна 
.
Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины 
число появлений события в этих испытаниях. Найдем закон распределения случайной величины . Для этого надо определить возможные значения и их вероятности. Возможные значения : 
, 
, 
, …, 
. Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли
, 
. (22)
Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным, так как правую часть равенства (22) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
.
Таблица биномиального закона имеет вид:
. (23)
Пример 3. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины – числа выпадений герба.
Решение. Событие – выпадение герба при одном броске монеты. Вероятность появления события при каждом броске постоянна и равна 
. Поэтому случайная величина – число выпадений герба – распределена по биномиальному закону. Найдем закон распределения этой случайной величины по формулам (23):
.
Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
. (24)
Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании,
. (25)
Закон распределения Пуассона. В случаях, когда велико, а вероятность мала, используется асимптотическая формула Пуассона. Найдем вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, это событие наступит ровно 
раз. При этом предполагается, что произведение 
сохраняет постоянное значение 
. По формуле Бернулли вычислим вероятность
.
но , 
, тогда
.
Учитывая, что имеет очень большое значение, вместо 
найдем 
. Так как произведение постоянно и равно 
, то при 
,
.
Формула
(26)
выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых ( велико) и редких ( мало) случайных событий.
Числовые характеристики дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона:
, 
. (27)
Геометрический закон распределения. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна (
). Испытания заканчиваются, как только появится событие , то есть если событие появилось в -ом испытании, то в предыдущих 
испытании оно не появилось.
Обозначим через дискретную случайную величину – число испытаний, которые надо провести до первого появления события . Возможные значения : 
, 
, …, 
. Вероятность того, что в первых испытаниях событие не наступило, а в -ом испытании появилось, по теореме умножения вероятностей независимых событий,
. (28)
Полагая в формуле (28) 
, получим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем 
(
):
, 
, 
, …, 
, … (29)
Поэтому распределение (28) называется геометрическим.
Сумма вероятностей (28) является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (29):
.
Числовые характеристики дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону:
, 
. (30)
Гипергеометрический закон распределения. Для того чтобы дать определение гипергеометрического распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии из 
изделий 
стандартных (
). Из партии случайным образом отбирают изделий. Каждое изделие быть извлечено с одинаковой вероятностью. Отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию. Поэтому формула Бернулли здесь неприменима.
Обозначим случайную величину – число 
стандартных изделий среди отобранных. Возможные значения случайной величины : 
. Вероятность того, что 
,
. (31)
Эта формула определяет распределение вероятностей, которое называется гипергеометрическим. Это распределение определяется тремя параметрами , , .
Числовые характеристики дискретной случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону:
, 
. (32)