Основные теоремы теории графов.

Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач.

Теорема 3.1. Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.

Доказательство. Пусть А₁, А₂, А₃,..., A_n — вер­шины данного графа, a p(A₁), р(А₂),..., p(A_n) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это рав­носильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины).

Отсюда следует: p(A₁)+р(А₂)+... +p(A_n)=0,5 N, или 2(p(A₁)+р(А₂)+... +p(A_n))= N, где N — число ребер. ‡

Теорема 3.2. Число нечетных вершин любого графа четно.

Доказательство. Пусть a₁, a₂, a₃, …, a_k— это сте­пени четных вершин графа, а b₁, b₂, b₃, …, b_m — степени нечетных вершин графа. Сумма a₁+a₂+a₃+…+a_k+b₁+b₂+b₃+…+b_m ровно в два раза превышает число ребер гра­фа. Сумма a₁+a₂+a₃+…+a_k четная (как сумма четных чисел), тогда сумма b₁+b₂+b₃+…+b_m должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать. ‡

Эта теорема имеет немало любопытных следствий.

Следствие 1. Нечетное число знакомых в любой компании всег­да четно.

Следствие 2. Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

Следствие 3. Число всех людей, когда-либо пожавших руку дру­гим людям, нечетное число раз, является четным.

Теорема 3.3. Во всяком графе с n вершинами, где n больше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с оди­наковыми степенями.

Доказательство. Если граф имеет n вершин, то каждая из них может иметь степень 0, 1, 2,..., (n - 1). Предположим, что в некотором графе все его вершины имеют различную степень, то есть, и покажем, что этого быть не может. Действительно, если р(А)=0, то это значит, что А — изолированная вершина, и поэтому в графе не найдется вершины Х со степенью р(Х)= n -1. В са­мом деле, эта вершина должна быть соединена с (n- 1) вершиной, в том числе и с А, но ведь А оказалась изолированной. Следовательно, в графе, имеющем n вершин, не мо­гут быть одновременно вершины степени 0 и (n -1). Это значит, что из n вершин найдутся две, имеющие одинаковые степени. ‡

Теорема 3.4. Если в графе с n вершинами (n больше или равно 2) только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими.

Доказательство данной теоремы мы опускаем. Остановимся лишь на некотором ее пояснении. Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: группа, состоящая из n школьников, обменивается фотографиями. В некоторый момент времени выяс­няется, что двое совершили одинаковое число обме­нов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершив­ший его.

Теорема 3.5. Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины.

Рисунок 3.1 поясняет условие теоремы. На изображенном графе все 5 простых циклов четные.

(РИСУНОК 3.1)

Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл (как простой, так и непростой) нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер.

Теорема 3.6. Для того, чтобы граф был эйлеро­вым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень.

Теорема 3.7. Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечет­ными вершинами этого графа.

Доказательство этой теоремы очень интересно и ха­рактерно для теории графов. Его также следует счи­тать конструктивным (обратите внимание на то, как •использована при этом теорема 3.6). Для доказательства к исходному графу присоеди­няем ребро (А, В); после этого все вершины графа станут четными. Этот новый граф удовлетворяет всем условиям теоремы 3.6, и поэтому в нем можно про­ложить эйлеров цикл Ψ. И если теперь в этом цикле удалить ребро (А, В), то останется искомая цепь АВ. ‡

На этом любопытном приеме основано доказатель­ство следующей теоремы, которую следует считать обоб­щением теоремы 3.7.

Теорема 3.8. Если данный граф является связ­ным и имеет 2 k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу.

Теорема 3.9. Различных деревьев с n перенумерованными вершинами можно построить n^n-2.

По поводу доказательства этой теоремы сделаем одно замечание. Эта теорема известна, в основном, как вывод английского математика А. Кэли (1821—1895). Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Се­годня двоичные деревья используются не только ма­тематиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами (подробнее об этом – в параграфе 6).

Теорема 3.10. Полный граф с пятью верши­нами не является плоским.

Доказательство. Воспользуемся формулой Эйлера: В-Р+Г =2, где В — число вершин плоского графа, Р — число его ре­бер, Г — число граней. Формула Эйлера справедлива для плоских связных графов, в которых ни один из многоугольников не лежит внутри другого.

Эту формулу можно доказать методом математиче­ской индукции. Это доказательство мы опускаем. За­метим только, что формула справедлива и для пространственных многогранников. Пусть все пять вершин графа соединены друг с дру­гом. Замечаем, что на графе нет ни одной грани, ограниченной только двумя ребрами. Если че­рез φ₁ обозначить число таких граней, то φ₂ =0. Далее рассуждаем от противного, а именно: пред­положим, что исследуемый граф плоский. Это значит, что для него верна формула Эйлера. Число вершин в данном графе В =5, число ребер Р =10, тогда число граней Г =2- В + Р =2-5+10=7.

Это число можно представить в виде суммы: Г = φ₁+φ₂+φ₃+ …, где φ₃ – число граней, ограниченных тремя ребрами, φ₄ — число граней, ограниченных че­тырьмя ребрами и т. д.

С другой стороны, каждое ребро является границей двух граней, а поэтому число граней равно 2 Р, в то же время 2 Р =20=3 φ₃+ 4 φ₄ + .... Умножив равенство Г =7= φ₃+ φ₄ + φ₅ + … на три, получим З Г =21=3 (φ₃ + φ₄ + φ₅ + …).

Ясно, что (3 φ₃+ 3 φ₄ +3 φ₅ +…) < (3 φ₃+ 4 φ₄+ 5 φ₅+ … ) или 3 Г <2 Р, но по условию, 2 Р =20, а З Г =21; поэтому вывод, полученный при введенном нами предположе­нии (граф плоский), противоречит условию. Отсюда заключаем, что полный граф с пятью вершинами не является плоским. ‡

Теорема 3.11. (Теорема Понтрягина-Куратовского) Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не имеет в качестве подграфа полного графа с пятью вершинами.

В заключение этого параграфа, на наш взгляд, следует упомянуть то, что в нем объяснялись только основные теоремы теории графов. Их практическое применение будет рассмотрено в следующих параграфах реферата.