Тонкостенные сосуды и аппараты
Сосуды и аппараты, применяемые в газовой, нефтеперерабатывающей, химической, нефтехимической, пищевой, и смежных отраслях промышленности отличаются друг от друга конструктивным исполнением, материалом, размерами 
(диаметром и высотой), толщиной стенки и т.д. В зависимости от толщины стенки сосуды и аппараты подразделяются на тонко и толстостенные.
Тонкостенными принято считать сосуды и аппараты, если толщина их стенки S не превышает 10% внутреннего диаметра Dв. Такие сосуды и аппараты эксплуатируются обычно при давлении не более 10 МПа.
По ГОСТу 14249-89 тонкостенным называется сосуд, если:
 ,
| для обечаек и труб при Dв ³ 200 мм |
| для обечаек и труб при Dв <200 мм |
где c - сума прибавок, мм.
В данной работе мы ограничимся рассмотрением тонкостенных сосудов, работающих под действием внутреннего газового давления.
Основные понятия и определения
При всем разнообразии машин и аппаратов, применяемых в газонефтепереработке, их можно представить состоящими из пластин и оболочек, соединенных друг с другом как разъемными, так и неразъемными соединениями.
Оболочкой называется тело, два размера которого значительно больше третьего (толщины стенки S).
Оболочкой вращения называется оболочка, образованная вращением какой-либо плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и на пересекающей ее (рисунок 3.1.1). Оболочку вращения называют осесимметричной, если она нагружена равномерно распределенными относительно оси нагрузками. В простейшем случае примерами осесимметричных оболочек могут служить сферическая, цилиндрическая, коническая и эллиптическая оболочки вращения, нагруженные внутренним газовым давлением Р.
| Ось вращения |
| Кривая вращения |
Рисунок 3.1.1 – Оболочка вращения
Кроме того, к таким оболочкам относится колонный аппарат, расположенный вертикально и заполненный жидкой средой (рисунок 3.1.2), т.к. в этом случае нагрузка вдоль оси изменяется постепенно, без резких скачков.
| H2O |
|
Рисунок 3.1.2 – Эпюра распределения гидростатического давления для
колонного аппарата
В горизонтальном аппарате (рисунок 3.1.3), заполненном водой, каждая точка поперечного сечения испытывает разное давление и поэтому эта оболочка уже не относится к осесимметричным.
При изображении оболочек обычно не показывают толщину стенки, а оперируют понятием срединной поверхности.
Срединная поверхность – это поверхность, равноудаленная от наружной и внутренней поверхностей.
Рисунок 3.1.3 – Эпюра распределения гидростатического давления для горизонтального аппарата внутренней поверхностей оболочки
Меридианами называются кривые, образованные пересечением срединной поверхности плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки (рисунок 3.1.4).
Рисунок 3.1.4 – Срединная поверхность
Параллелями (параллельными кругами или кольцевыми сечениями) называются окружности, образованные пересечением срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной оси оболочки.
Полюсом оболочки называется точка пересечения срединной поверхности с осью (рисунок 3.1.5).
Рисунок 3.1.5 – Основные параметры оболочки
Параметры rm, rt называются радиусами кривизны соответственно меридиана и параллельного круга.
Напряженное состояние материала упругих осесимметричных оболочек вращения
При расчете оболочек вращения обычно определяют напряжения от действия внутреннего давления и толщину стенки. При этом рассматривают бесконечно малый элемент “D”, выделенный из оболочки двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями (рисунок 3.1.6).
Рисунок 3.1.6 – Элемент оболочки
rm – радиус кривизны меридиана; rt – радиус кривизны параллельного круга.
Как известно из курса сопротивление материалов, в самом общем случае от действия внешних нагрузок по каждой из граней могут действовать шесть внутренних силовых факторов (ВСФ):
– продольное (нормальное) усилие (сила) Nz;
– поперечные силы Q x, Qy;
– изгибающие Mx, My и крутящий Mz моменты,
от которых возникают нормальные s (от Mx, My, Nz) и касательные t (от Q x, Qy, Mz) напряжения. На рисунке 3.1.7 показаны внутренние силовые факторы только по одному из сечений – меридиональному, аналогично можно было бы изобразить внутренние силовые факторы и по остальным трем граням.
Какие внутренние силовые факторы возникают в оболочке под действием внутреннего давления Рвнутр?
Для решения этой задачи рассмотрим пример – воздушный шарик, находящийся под действием газового давления.
Рисунок 3.1.7 – Внутренние силовые факторы, действующие на выделенный
элемент оболочки
T, U– тангенциальные и меридиональные растягивающие усилия;
Mt, Mm – тангенциальный и меридиональный изгибающий моменты;
P – усилие от давления.
Изобразим деформации стенки сферы (рисунке 3.1.8).
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.1.8 – Деформации сферической оболочки
Допустим, надули шарик до давления P1 и он принял определенный размер, характеризующийся длиной окружности поперечного сечения.
Надуваем шарик до давления P2 > Р1, размеры шарика увеличиваются и, соответственно, изменяются размеры дуги AB.
Совместим эти дуги до деформации и после (рисунок 3.1.9).
Рисунок 3.1.9 – Схема совмещения дуг AB и A’B’
Из рисунка видно, что дуги не совпадут, так как, во-первых, одна дуга длиннее другой, т.е. на нее должны действовать растягивающие усилия, в данном случае тангенциальные – T, а во-вторых, различна их кривизна.
Изменить свою кривизну дуга может только под действием изгибающих моментов. Для рассматриваемого случая это – Мt.
Если шарик повернуть на 90°, то параллельный круг превратится в меридиан.
Для дуги BD будут происходить аналогичные изменения, т.е. на эту дугу будут действовать меридиональные растягивающие усилия U и меридиональный изгибающий момент Mm (рис.унок 3.1.10).
Таким образом, в оболочках под действием внутреннего давления возникают усилия U и T и изгибающие моменты Мt, Мm.
Рисунок 3.1.10 – Схема совмещения дуг BD и B’D’
Доказано, что в случае, когда вдоль меридиана не будет резких изменений внешней нагрузки, толщины оболочки и ее радиусов кривизны, то можно принять, что оболочка не подвергается изгибу, т.е. изгибающие моменты и поперечная сила равны нулю (Мx = Мy = Оy = 0), благодаря же симметрии формы и нагрузки оболочки действие крутящих моментов Мz и поперечной силы Оx на всех гранях исключено и тогда касательные напряжения отсутствуют.
Таким образом, по граням действуют только нормальные усилия N; будем называть их соответственно меридиональными и обозначать N = U (по меридиональным сечениям АВ и СД) и тангенциальными (кольцевыми) N = Т (по граням АС и ВД). От них возникают нормальные напряжения, соответственно - меридиональные sm и тангенциальные st (рисунок 3.1.11).
Рисунок 3.1.11 – Напряженное состояние и эпюры распределения тангенциальных напряжений по толщине стенки
Кроме этого на грань АВСД действует внешняя нагрузка Р. (В данном примере это внутренне избыточное давление). От этой нагрузки возникает, так называемое, радиальное напряжение, направленное вдоль радиуса оболочки и равное по величине давлению, т. е. sr = Р. Так как для тонкостенных оболочек давление обычно меньше 10 МПа, то радиальное напряжение также не больше этого значения, и соответственно, значительно меньше допускаемых напряжений. Поэтому для тонкостенных оболочек обычно пренебрегают величиной радиальных напряжений и принимают их равными нулю.
При расчете тонкостенных оболочек считают, что кольцевые и меридиональные напряжения постоянны по толщине оболочки, т.е. пренебрегают их изменением (рисунок 3.1.11), как это наблюдается для толстостенных аппаратов.
Таким образом, можно принять, что напряженное состояние тонкостенных оболочек – плоское (двухосное).
Основанная на этих предположениях теория, не учитывающая действие изгибающих моментов, а принимающая во внимание только продольные силы U и Т, называетсябезмоментной илимембранной теорией расчета оболочек, в отличие отмоментной теории.
3.1.3 Безмоментная теория расчета оболочек
Определение напряжений
Основным исходным уравнением безмоментной теории для расчета на прочность осесимметричных оболочек вращения, нагруженных внутренним избыточным давлением, является уравнение Лапласа. Для его нахождения рассмотрим равновесие выделенного элемента “Э” под действием равномерно распределенного внутреннего давления. Приложим внешние нагрузки и покажем внутренние силовые факторы, как изображено на рисунке 3.1.12.
Рисунок 3.1.12 – Выделенный элемент оболочки, находящийся в
равновесии под действием равномерно распределенного давления
Рассмотрим условие равновесия всех сил на ось Y. Для наглядности рассмотрим этот элемент с двух видов (рисунок 3.1.12).
Сумма всех сил, действующих вдоль оси Y, равна нулю, т.е.
Рисунок 3.1.12 – Элемент оболочки. Вид сверху
Как было сказано ранее на элемент действуют напряжение sm на гранях АС и ВD, а напряжение st на гранях АВ и СD. Кроме того, внешние силы, нормальная составляющая которых, относится к единице площади, есть Р (внутреннее давление).
Составим уравнение равновесия в проекциях на нормаль (ось у), проведенную в середине элемента. На грани АВСD, площадь которой есть S*dlm, действует напряжение st. Таким образом, сила, действующая на указанной грани, равна
. (3.1.1)
Эта сила составляет с осью Y угол, равный 
, и направлена в противоположную оси Y сторону, поэтому ее проекция на нормаль равна - 
.
Рассматривая совершенно аналогичные силы, действующие на грани АС и ВD, найдем, что проекция каждой из них на нормаль равна
(3.1.2)
Наконец, составляющая внешней силы, направленная вдоль оси Y (по нормали), равна
. (3.1.3)
Находя сумму проекций на нормаль всех действующих на элемент сил и приравнивая эту сумму нулю, получим
, (3.1.4)
или, если вместо Т, U и P’ подставить из (3.1.1) значения, выраженные через напряжения и внешнюю нагрузку, уравнение (3.1.4) примет вид
(3.1.5)
В виду малости углов 
и 
можно записать, что 
, 
. Кроме того, используя зависимость между длной дуги и радиусом кривизны, получим 
и 
. Подставляя эти значения в уравнение (3.5), имеем
(3.1.6)
Сократив каждый член данного уравнения на 
, его можно записать следующим образом
, (3.1.7)
и окончательно
. (3.1.8)
Полученное уравнение носит название уравнение Лапласа.
Одного этого уравнения недостаточно для определения напряжений sm и st, т.е. для нахождения этих напряжений к уравнению (3.1.8) нужно добавить еще одно уравнение.
Для получения второго уравнения отсечем нормальным коническим сечением часть оболочки и отбросим верхнюю часть. Для оставшегося элемента (так называемой зоны оболочки), показанного на рисунке. составим уравнение равновесия всех сил в направлении оси оболочки Х. Площадь А поверхности поперечного сечения элемента есть кольцо. Поэтому
. (3.1.9)
На нее действует меридиональная сила U, от которой возникает напряжение
. (3.1.10)
Отсюда
. (3.1.11)
Кроме этого, на выделенный элемент действует осевая равнодействующая Р’ внешних сил,приложенных к отсеченной части. В качестве внешних сил выступает равномерное внутреннее давление Р. Проектируя все силы на ось Х, получим
, (3.1.12)
или
, (3.1.13)
где a – угол между направлением U и осью Х.
Доказано, что если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления, на заданную ось равна произведению давления Р на площадь проекции поверхности А’ на плоскость, перпендикулярную к заданной оси. Следовательно
. (3.1.14)
Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующих сил давления на ось Х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость, перпендикулярную этой оси и определить ее площадь. Для рассматриваемой зоны проекция ее поверхности на плоскость, перпендикулярную оси Х, представляет собой окружность и площадь, соответственно, равна
. (3.1.15)
Тогда
. (3.1.16)
Подставляя значение Р’ в уравнение (3.1.13), получим
(3.1.17)
Преобразуя, имеем
. (3.1.18)
Это уравнение называется уравнением равновесия зоны или просто уравнением зоны.
Из этого уравнения находится меридиональное напряжение sm.
Таким образом, по безмоментной теории напряжения sm и st в оболочке определяются из уравнений равновесия.
Мембранная теория дает следующие значения напряжений для основных геометрических форм оболочек:
– сферический сосуд (шаровая оболочка, полушаровое днище) (рисунок 3.1.13), нагруженный равномерно распределенным внутренним давлением Р.
Для него rt = rm = R, где R – радиус сферы.
Рисунок 3.1.13 – Сферическая оболочка, нагруженная внутренним давлением
Тогда меридиональное напряжение sm равно кольцевому напряжению st и они определяются по формуле
, (3.1.19)
где rсп – радиус срединной поверхности, м.
Рисунок 3.1.14 – Применение сферических оболочек для изготовления шаровых емкостей и полусферических днищ
– цилиндр с крышками, нагруженный равномерно распределенным давлением Р. (рисунок 3.1.15)
Рисунок 3.1.15 – Цилиндрическая обечайка
Для него rt = R, rm =¥, тогда
, (3.1.20)
, (3.1.21)
при этом
, (3.1.22)
то есть в продольных швах действуют в два раза большие напряжения, чем в поперечных (см. рисунок 3.1.11), и соответственно по этим швам в первую очередь может произойти разрыв при разрушении оболочки.
– конус, шарнирно подвешенный по краю со стороны основания, нагруженный равномерно распределенным давлением Р.
Для него rm = ¥.
Кольцевые напряжения в любом сечении конического днища n - n можно найти из уравнения Лапласа.
Учитывая, что величина
, (3.23)
получим
, (3.24)
где 
, 
– соответственно радиус кривизны и радиус конуса в сечении n – n. Величину меридиональных напряжений, возникающих в сечении n – n конуса можно определить из уравнения зоны (4), т.е
. (3.25)
Из формул (3.1.24) и (3.1.25) вытекает, что максимальная величина кольцевых и меридиональных напряжений будет на краю конуса при r = R, причем
, (3.26)
при этом кольцевые напряжения (как и для цилиндра) в любом данном сечении в 2 раза больше меридиональных, т.е.
. (3.27)
У вершины конуса при г = 0 и кольцевые и меридиональные напряжения равны нулю. Пример эпюры тангенциальных напряжений приведен на рисунке 3.1.16.
Риcунок 3.1.16 – Коническая оболочка, нагруженная внутренним давлением
Те же значения будут справедливы и для усеченного конуса, закрытого днищем. Эти формулы верны в том случае, если угол a < 80°, т.е. пригодны для расчета большинства конусов, являющимися частями аппаратов.
– в эллиптической оболочке напряжения и радиусы кривизны в каждой отдельной точке на кривой (образующей эллиптического днища) различны. Они изменяются в зависимости от х и у и максимального своего значения достигают в точке А (рисунок 3.7).
Максимальные напряжения определяются по следующим зависимостям
, (3.28)
где R - радиус кривизны днища, м, который определяется по формуле
, (3.29)
где х и у – координаты заданной точки при условии, что начало координат находится а точке О;
r – радиус днища, м.
В результате экспериментальных исследований было установлено, что оптимальной конструкции днищ соответствуют следующие параметры
. (3.30)
Рисунок 3.7 – Схема эллиптического днища
H – глубина днища; R– радиус кривизны; Dв - внутренний диаметр
| A |
(рисунок 3.8).
Рисунок 3.8 – Стандартное эллиптическое днище
Эллиптические днища одни из самых экономичных. Изготавливаются они штамповкой из листа из круглого проката (если диаметр листа равен диаметру днища, то без сварных швов), либо из сварных листов.