Дифференциальные уравнения первого порядка

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:
Классификация функций одного аргумента:

§ степенную функцию y = xⁿ; y = x^–n и y = x ^{1/ n} ;

§ показательную функцию y = a^x;

§ логарифмическую функцию y =log _ax;

§ тригонометрические функции y =sin x, y =cos x, y =tg x и y =ctg x;

§ обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y =arccos x, y =arctg x и y =arcctg x.

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными.

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

2. Дифференциальные уравнения. Основные понятия, задачи:

Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений: F (x,y,y’,y’’..y’’’) = 0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F (x, y, y ')=0, где F — известная функция трех переменных, x — независимая переменная, y (x) — искомая функция, y '(x) — ее производная. Если уравнение F (x, y, y ')=0 можно разрешить относительно y ', то его записывают в виде y '= f (x, y)

Уравнение y '= f (x, y) устанавливает связь между координатами точки (x, y) и угловым коэффициентом y ' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

Где P(x;y) и Q(x;y) – известные функции. Уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 удобно тем, что переменные в нем равноправны, т.е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

3. Математическая статистика. Статистическое распределение выборки или ГС.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка и производятся наблюдения за случайной величиной (признак), причем значение наблюдалось -раз, значение наблюдалось -раза, – -раз и т.д.

Возможные значения случайной величины , , ,…. ,принято называть вариантами, а последовательность вариант, записанную в порядке возрастания - вариационным рядом.

Числа , ,… называют частотами.

где - относительная частота.

Перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот) называется статистическим распределением выборки (или статистическим рядом). Обычно статистический ряд записывают в виде таблицы.