СДВИГ
Основные положения
Исследуя в п.4.2 плоское напряженное состояние, мы установили, что если главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку, то площадки, наклоненные к главным под углом 45°, являются площадками чистого сдвига (рис. 8.1).
 |
Чистый сдвиг прямоугольного призматического бруса вызывается поперечными силами по четырем его граням. На рис. 8.2 показан чистый сдвиг в плоскости ху. Зададим следующие условия: 1) отсутствуют линейные деформации, а следовательно, нормальные напряжения и соответствующие им внутренние усилия в поперечных сечениях бруса (продольная сила и изгибающие моменты); 2) отсутствует деформация сдвига γ zx, а следовательно, τ zx =τ xz = 0, Qz = 0; 3) сечение остается плоским, т.е. γ xy = const; 4) физический закон − закон Гука при сдвиге; из него вытекает, что τ yx = τ xy = const; как следствие, крутящий момент при совмещении центра приведения с центром тяжести обращается в нуль; 5) задана величина поперечной силы Qy.
Рис. 8.1 Рис. 8.2
Для определения напряжений, деформаций и перемещений привлекаем зависимости по трем законам деформирования для τ xy и γ xy:
γ xy = ∂u/∂y+∂v/∂x, τ xy = G γ xy.
За основное неизвестное принимаем деформацию сдвига γ xy. При малых величинах γ xy можно пренебречь перемещениями v и принять γxy = ∂u/∂y. Так как u – функция одной переменной у, то
γ xy=du/dy,
откуда
Из условия неподвижности нижней грани (u = 0 при y = 0) вытекает С = 0, и следовательно,
u = γ xyy.
Интегральное уравнение при τ xy = const принимает вид
Qy = τ xy A,
откуда
τ xy = Qy /A.
Обращаясь к физическому закону, находим
γ xy = Qy / (GA),
и окончательное выражение для перемещений
u = (Qyy) / (GA).
Анализируя полученное решение, проведем некоторые параллели между сдвигом и растяжением (сжатием):
1. На торцах на основании статического граничного условия постоянное напряжение трансформируется в равномерно распределенную нагрузку YP = τ xy, которая и соответствует рассмотренной деформации чистого сдвига. На основании свойства парности касательных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам на соответствующих продольных гранях также имеет место равномерно распределенная нагрузка ХP = τ yx = τ xy (в этом отличие сдвига от растяжения). Равнодействующие Qx и Qy связаны между собой соотношением Qy / Qx=h / l.
2. Напряжение τ xy прямо пропорционально Qy и обратно пропорционально А. Следовательно, при заданной поперечной силе напряжение можно уменьшить путем увеличения площади поперечного сечения.
3. Деформация сдвига обратно пропорциональна величине GA, называемой жесткостью при сдвиге.
Практические расчёты соединений, работающих на сдвиг.
Для многих соединений, таких как сварные, болтовые заклёпочные, работающих в сложных напряжённых состояниях оценка работоспособности может быть проведена простыми, но довольно надёжными расчё-тами на сдвиг.
Изучив начальную стадию разрушения
заклёпочного соединения (рис 8.3) можно
Рис. 8.3 наблюдать, что происходит срез тела заклё-
пки по плоскостям соприкосновения листов. Количество площадок среза n наединицу меньше числа соединяемых листов и пропорционально суммарному числу заклёпок в соединении k.
Аср= 
, где d – диаметрзаклёпки.
Условия безопасности прочности
,
если расчёт ведём по допускаемым напряжениям. При расчёте по предельным состояниям действующие напряжения среза τ сравнивают с расчётным сопротивлением материала заклёпки на срез Rср. Так выполняют поверочный расчёт. При проектировании заклёпочного соединения диаметр заклёпки назначают, ориентируясь на толщину соединяемых пластин и из условия прочности определяют минимально возможное число заклёпок
В заклёпочном соединении может происходить смятие отверстий листов по поверхности контакта. Это особенно важно при проектировании герметич-ных сосудов. В этом случае дополнительно выполняют проверку на смятие. До-полнительно следует проверить на растяжение и полосу, ослабленную отвер-стиями.
Расчёт болтовых соединений производят в том же порядке. Расчёт высо-копрочных болтов осуществляют из условия затяжки соединения необходимым моментом затяжки, обеспечивающим требуемое усилие на контактирующих поверхностях обжимаемых листов, на которых возникающие силы трения и во-спринимают срезающие усилия. Высокопрочный болт работает только на рас-тяжение. Площадь его поперечного сечения назначается из условия безо-пасной прочности на растяжение.
Сварные соединения менее трудоёмки в исполнении, не приводят к ос-лаблениям элементов, более экономичны. Сварные соединения, как и заклёпоч-ные, условно рассчитывают в предположении равномерного распределения напряжений по сечению шва.
Если сварное соединение довести до разрушения, то наплавленный мате-риал останется на обеих частях пластин (рис. 8.4 а). 
Рис. 8.4
Срез происходит по площадке m-m, площадке наименьшего сечения, размер которого составляет h 
0.7 h, где h – высота катета углового шва. Ус-ловие безопасной прочности запишем в виде
,
где: Rср – расчётное сопротивление материала сварного шва на срез;
l шва – расчётная длина шва (в нашем случае l шва=2 l).
Для случая когда дополнительно осуществить и сварку по торцу (лобовой шов) длиной b, l шва=2 l +b.
При проектировании соединения (рис. 8.5), называемого врубкой, следу-ет подобрать размеры площади abcd из условия безопасной прочности матери-ала на скол (срез), а размеры площади cefb – из условия прочности на смятие (сжатие) от действия горизонтальной составляющей силы F.
Рис. 8.5
Практикум
Примеры
1.Определить необходимое число заклёпок диаметром 1,2см для соединения “внахлёст” двух пластин толщиной 0,8см и шириной 10см, если известно, что нормальные напряжения в растянутой полосе σ =150МПа и τadm=100МПа.
Решение. Если в растянутой пластине напряжения известны, то вызывавшая их сила N=σ 
=150МПа 
=1.5 
=120кН.
Эта сила будет срезающей для односрезных заклёпок, число которых:
k 
=10.6
Число заклёпок для обеспечения безопасной прочности соединения должно быть не менее 11 шт.
2. Найти необходимую длину фланговых швов, соединяющих равнополочный уголок 63 
с пластиной если действующее срезающее усилие F=65кН, приняв Rср=96 МПа.
Решение. Условия безопасной прочности имеет вид:
МПа (где h = 0.5см - толщина полки уголка)
l шв 
=19.5см.
Для обеспечения одинаковой работы левого и правого швов длины провара следует выбрать обратными расстояниям до центра тяжести сечения уголка от левого и правого шва
тогда l лев=14см, l пр=5.5см.
3. Две тяги соединены штырём, вставленным в проушины, и нагружены силой F=150кH. Определить действительный запас прочности, если: σу=230МПа; τу=180МПа.
Решение. Определим действующие напряжения среза в штыре
Запас прочности по касательным напряже-ниям 
Определим действующие нормальные напря-жения в ослабленном сечении правой пласти-ны (т.к. суммарная толщина двух левых боль-ше и там напряжения меньше)
.
Запас прочности по нормальным напряжениям 
. Решением является 1.53 - меньший из двух.
4. Пуансон диаметром 2см прошивает отверстие в стальной пластине толщиной 0.6см с усилием 130кН. Определить касательные напряжения в пластине и нор-мальные сжимающие напряжения в пуансоне.
Решение. Площадь среза представляет собой цилиндрическую поверхность ди-аметром 2см и высотой 0.6см. Аср= π 
Напряжение в пуансоне 