Координатный способ задания движения точки

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

Содержание: задачи кинематики; траектория, скорость, ускорение точки. Векторный способ задания движения точки. Векторы скорости и ускорения точки (годограф скорости). Примеры. Скорость и ускорение точки в полярных координатах. Координатный способ задания движения. Определение скорости и ускорения точек по их проекциям на координатные оси.

Основные понятия, задачи кинематики

Задачи кинематики состоят в определении способов задания движения материальной точки, твердого тела и механической системы, также методов вычисления скорости и ускорения точки (или точек твердого тела, механической системы).

Задать движение материальной точки или твердого тела (точек механической системы) - это значит задать способ вычисления положения точки или течек твердого тела (точек механической системы) в любой момент времени.

Траектория точки. Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в декартовой системе координат называется траекторией. Если в интервале времени траектория прямая линия, то движение в этом интервале называется прямолинейным, в противном случае – движение называется криволинейным (рис. 2.1).

Рис. 2.1

В частности, движение точки на интервале времени называют круговым, если на этом интервале точка движется по окружности.

Скорость точки. Пусть положение движущейся точки М относительно произвольно выбранного неподвижного центра О определяется в момент

а		времени t радиус– вектором , который соединяет движущуюся точку М с центром О, (рис. 2.2, а). В следующий момент времени положение точки (точка М1) определяется радиус–вектором . За время , радиус-вектор изменится на . Средней скоростью точки за время называют соотношение , т.е. (2.1)
б	Рис. 2.2

Средняя скорость параллельна вектору и не имеет точки приложения (рис. 2.2, а).

Мгновенная скорость точки в момент времени t определяется как предел средней скорости при Δt → 0, т.е.

. (2.2)

 

Производная по времени от функций обозначается точкой над символом этой функции, а вторая производная – двумя точками.

Вектор скорости приложен в точке М, направлен в сторону ее движения по предельному направлению вектора → 0, т.е. совпадает с касательной к траектории в точке М (рис. 2.2, б ). Размерность скорости в СИ: = длина/время = м/с. Часто скорость выражают в км/ч = 0,28 м/с.

 

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки

Ускорение точки. Пусть движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость (рис. 2.2). В момент времени = t + Δt эта точка занимает положение М₁, имея скорость . Чтобы изобразить приращение скорости за время Δt, перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку М, тогда .

а		Средним ускорением точки за время Δt называется отношение , т.е. . (2.3) Вектор совпадает с направлением вектора , т.е направлен внутрь вогнутости траектории (рис. 2.3, а). Ускорением точки в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt → 0, т.е. . (2.4)
б
Рис. 2. 3

Вектор ускорения всегда направлен внутрь вогнутости под любым углом к касательной к траектории движения (рис. 2.3, 6). Размерность ускорения в СИ: = длина/время² = м/с².

Ускорение – векторная величина, которая характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости.

Вопрос о скорости был “камнем преткновения” до начала ньютоновской эпохи в механике. Задачи на вычисление скорости движения какого-либо тела тогда были неразрешимы. Кроме того, существовали многочисленные «парадоксы». Один из них придуман Зеноном, он хорошо показывает, насколько была сложна до Ньютона проблема вычисления и определения скорости движения. Зенон – греческий философ и астроном, живший на о. Кипр около 336-264 до н.э., известный еще и тем, что одним из первых правильно объяснил затмение солнца и луны.

«Предположим, – говорил он, – что Ахиллес (рис. 2.3, точка ) бегает в десять раз быстрее черепахи (рис. 2.4, точка ). Тем не менее, Ахиллес никогда не перегонит черепаху. Действительно, пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса . Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахиллес увидит черепаху в 1-ом метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и т.д. до бесконечности. Следовательно, в любой момент черепаха будет впереди Ахиллеса, и он когда не сможет перегнать».

Для разрешения этого парадокса была высказана новая идея независимо Ньютоном и Лейбницем, которая положила начало новой области математики, помимо хорошо изученных учеными в те времена геометрии и алгебры. Для описания движения Ньютон ввел параметр , назвал его абсолютным временем и стал рассматривать путь, пройденный Ахиллесом и черепахой в единицу времени, т.е. рассматривать движение в плоскости с координатами (рис. 2.4). За одно и тоже время Ахиллес пройдет путь (точка ), а черепаха (точка ), причем . Соединяя полученные точки () и () в плоскости (), получим две прямые под разными углами к оси t. Очевидно, что если угол наклона прямой (1) – угол , будет больше угла наклона кривой (2) – угол , то Ахиллес перегонит черепаху в момент времени , когда прямые (1) и (2) пересекутся.

Новая идея заключалась в том, чтобы малые расстояния (путь ) рассматривать на соответствующих малых отрезках времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше. Иными словами, брать предел отношения пройденного расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего. Тогда, скорость движения Ахиллеса и скорость движения черепахи определятся через углы наклона прямых и (рис. 2.4) следующим образом

	. Путь , пройденный точкой, зависит от времени, следовательно, является функцией времени, т.е. . Предел был назван производной от функции . Исаак Ньютон (Newton, Isaac) (1643-1727) и Лейбниц Готфрид Вильгельм (Leibniz, Gottfried Wilhelm von) (1646–1716), заложили основы новой области математики – дифференциального и интегрального исчисления.
Исаак Ньютон
Г. В. Лейбниц

 

§ 2. 2. Векторный способ задания движения точки* [1]

Движение точки задается радиус– вектором этой точки. Движение точки считается заданным, если известен радиус – вектор движущейся точки как функция времени, т.е.

. (2.5)

Рис. 2.5

Уравнение (2.5) называется уравнением движения точки, заданное векторным способом. Заданное уравнение движения полностью определяет движение точки.

Пусть задает движение точки М, тогда при изменении t точка опишет кривую в пространстве (рис. 2.5). Эта кривая называется годографом радиус-вектора и соответствует траектории точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке – (рис. 2.4) и вычисляется по формуле

. (2.6)

Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости траектории в точке и вычисляется по формуле:

. (2.7)

Покажем технологию вычисления скорости и ускорения точки А.

Пусть движение точки А происходит в заданной плоскости. Зададим радиус – вектор движущейся точки как функция времени т.е. зададим функции , , рис.2.6, а

а

б

Рис. 2.6

Совместим начало декартовой системы координат и ось с полюсом и полярной осью , соответственно (рис. 2.6, б). Радиус – вектор разложим по единичным ортам , :

.

Введем - единичный вектор, направленный вдоль радиус-вектора в сторону возрастания модуля , и - единичный вектор, получающийся из поворотом последнего на угол против часовой стрелки. Единичные векторы и задают направления двух взаимно перпендикулярных осей. Ось, направление которой определено единичным вектором называется радиальной, а единичным вектором – трансверсальной. В системе координат Оху векторы и можно связать с единичными ортами следующим образом (рис.2.6, б):

,

.

Вычислим скорость точки А. Так как

, ,

имеем

.

Модуль скорости

. (2.8)

Проекции скорости на радиальную ось - и трансверсальную ось - и называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.

Угол, образованный вектором скорости с положительным радиальным направлением, вычисляется по формуле

.

Для ускорения аналогично получаем:

.

Тогда модуль ускорения

,. (2.9)

Проекции ускорения на радиальную ось - и трансверсальную ось - называются радиальным и трансверсальным ускорениями соответственно. Угол, образованный вектором ускорения с положительным радиальным направлением, вычисляется по формуле

.

Движение задано радиус-вектором , тогда , ; , .

Пример 2.1. Движение точки задано радиус-вектором :

(а)

Построить траекторию, вычислить скорость и ускорение точки для моментов времени ,

Решение. Исключая из уравнений движения (а) параметр t, получим уравнение траектории в полярных координатах: r=j. Это уравнение описывает движение точки А по лучу , вращающемуся около полюса О. Траектория такого движения называется спиралью Архимеда (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Точка при занимает положение с координатами: ().

Точка при занимает положение с координатами:

Проекции скорости и ускорений на полярные оси вычислим по формулам:

;

.

Вычислим скорость и ускорение точки при :

;

.

Вычислим скорость и ускорение точки при :

;

.

Пример 2.2. Движение точки задано в уравнением

.

Построить траекторию движущейся точки и вычислить ее скорость при

Решение. Построить траекторию движущейся точки – это значит построить годограф радиус – вектора. Для построения годографа составим таблицу 2.1 точек годографа для отдельных значений t.

Табл. 2.1

t	0

 

Для любой точки годографа имеем: , , , поэтому при любом t выполняется равенство х²+у²=а², т.е. все точки годографа лежат на цилиндре, направляющей которого является окружность в плоскости переменных х, у, а образующая параллельна оси . Искомый годограф имеет вид, изображенный на рис. 2.8 a, и называется винтовой линией.

Рис. 2.8

Вычислим положение точки при заданном времени.

Точка М_О при имеет координаты: , , .

Вычислим скорость точки для текущего времени:

.

При , рис. 2.8, б:

Координатный способ задания движения точки

Рассмотрим движение точки в плоскости. Пусть Оху – неподвижная декартова система координат.Можно задать значения координат движущейся точки для каждого момента, т. е. задать зависимости

(2.10)

Уравнения (2.10) представляют собой уравнения движения точки в декартовых прямоугольных координатах.

Зная уравнения (2.10), можно вычислить для каждого момента времени соответствующие значения x, y и, следовательно, указать положение точки по отношению к выбранной системе Оxy. Поэтому уравнения (2.10) являются также и уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Для получения явного вида уравнения траектории, т.е. зависимости , следует из уравнений (2.10) исключить параметр t.

Радиус – вектор , если заданы функции (2.10), имеет вид (рис. 2.9)

,

где , – единичные орты системы координат Оxy.

Вектор скорости вычисляется, как производная от по времени, т.е.

Модуль вектора скорости вычисляется так

, (2.11)

здесь , – проекции скорости на оси , знак производных показывает направление проекций скорости по отношению к соответствующим осям соответственно.

Направление вектора скорости вычисляется по направляющим косинусам:

. (2.11,а)

Вектор ускорения вычисляется, как вторая производная от по времени, т.е.

.

Для вычисления модуля ускорения, имеем

, (2.12)

где , – проекции вектора на оси соответственно, знак производных показывает направление проекций ускорения по отношению к осям .

Направление вектора ускорения вычисляется по направляющим косинусам

. (2.12,а)

Рассмотрим движение точки в плоскости. Тогда, уравнения движения точки в декартовых координатах Оху имеют вид:

(2.13)

Уравнения (2.9) являются также уравнениями траектории точки, заданными параметрически, т. е. в системах координат и .

Уравнение траектории в явном виде, т. е. в системе координат .Для получения этой зависимости, следует из уравнений (2.13) исключить параметр .Уравнение траектории в явном виде будет иметь вид функции .

Например, заданы уравнения движения точки:

, ,

в явном виде уравнение движения точки будет иметь вид

Скорость и ускорение точки по модулю и направлению вычисляются по формулам:

;
	Рис. 2.10	Пример 2.3. Положение кривошипа ОА в кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.10) определяется углом (рад). Вычислить скорость и ускорение точек А и В в моменты если м.

Решение. Декартовую систему координат совместим с точкой О кривошипа 0А (рис. 2.11).Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом относительно выбранной системы отсчета, т.е. задать координаты - и каждой точки.

Вычислим положение механизма при с, которое определяется углом . Имеем:

.

Точка А движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа ОА, точка В – прямолинейно вдоль оси . Следовательно, в любой момент времени положение точки А определяется координатами , а движение точки В определяться координатой (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Имеем: ;

Скорость и ускорения точки А (рис. 1.3, а):

Скорость точки А:

(м/c).

а		б	б
Рис. 2.12

Направление вектора скорости:

.

Ускорение точки А (рис. 2.12, б):

(м/c).

Имеем:

точка А вдоль оси движется ускоренно;

точка А вдоль оси движется замедленно.

Направление вектора ускорения:

.

Скорость точки и ускорение В (рис. 2.12, а, б)

м/c;

м/c²

точка В движется против оси ускоренно.

Пример 2.4. Движение точки M по плоскости Оху задано уравнениями движения

. (а)

Построить траекторию движущейся точки, вычислить скорость и ускорение точки в моменты времени и .

Решение. Дляпостроения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т.е. область значений и .[2] Функции и - ограничены, т.е. , , получаем:

Выделяем на координатной плоскости область, ограниченную полученными неравенствами, за эту область точка при движении не выходит
(рис. 2.10). Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:

.

Рис. 2.13

Учитывая, что , получим: Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 2.13). Подставляя в (а) значение , находим: ; (см).

Точка в начальный момент времени занимает положение . Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата « » возрастает, а «у » убывает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке.

Вычислим модуль и направление вектора скорости точки М. Имеем:

(в)

Вычислим модуль и направление вектора ускорения точки М. Имеем:

(г)

При из (а) получаем, что точка М имеет координаты х=2, у=0, т.е. занимает положение (рис. 2.13). Подставляя в (в) и (г) время , получим

Откладываем значение скорости (рис. 2.14, а) и ускорения (рис. 2.14, б) точки на траектории.

Рис. 2.14

Из рис. 2.14, а видно, что вектор скорости совпадает по направлению с касательной к траектории в точке , а вектор ускорения направлен во внутрь вогнутости траектории (к центру О).

При из (а) получаем, координаты точки : - , (рис. 2.14).

Вычислим, используя (в) и (г), модуль и направление векторов скорости и ускорения.

Имеем:

для ускорения

, .

Откладываем значение скорости (рис. 2.14, а) и ускорения (рис. 2.14, б) точки на траектории.

Пример 2.5. Положение кривошипа ОА кривошипно-ползунного механизма
(рис. 2.12), определено углом (рад). Вычислить скорость и ускорение точки и точки в момент времени с, если

Рис. 2.15 см, .

Решение. Совместим декартовую систему координат с точкой О кривошипа ОА (рис. 2.16).

Движение каждой точки данного механизма можно задать координатным способом. Положение каждой точки механизма в системе будет определено двумя координатами: для точки - и для точки - и .

Вычислим положение механизма и координаты точек и при (рис. 2.16).

Имеем:

().

 

Справка: рад.; 1 рад. .

 

Рис. 2.16

 

Координаты точки М:

Координата точки ():

Скорость и ускорение точки М (рис. 2.17).

Рис. 2.17

 

Скорость точки М для с:

;

(м/c).

Справка: Формулы приведения:

Ускорение точки М для с:

(м/c²).

Имеем: точка М вдоль оси движется замедленно;

точка М вдоль оси движется ускоренно.

Скорость и ускорение точки В (рис. 2.17). Точка движется прямолинейно вдоль оси . Следовательно, в любой момент времени координата , и движение этой точки будет определяться только координатой .

Имеем:

Скорость точки В:

м/с;

Ускорение точки В:

м/с².

Имеем точка В движется замедленно.