Прямая задача кинематики. Задано уравнение прямолинейного движения
.
Решение прямой задачи кинематики связано с правилами дифференцирования функций, т.к. скорость и ускорение точки вычисляются по формулам
, .
При этом рекомендуется пользоваться таблицей производных элементарных функций, приведенных в справочниках по математике.
Если , – вектор скорости и вектор ускорения направлены в одну сторону – движение ускоренное, если , , – вектор скорости и вектор ускорения направлены в в противоположные стороны – движение замедленное.
Пример 2.6. Прямолинейное движение точки М задано уравнением . Вычислить скорость и ускорение точки М в момент времени .
Решение. Уравнение движения задано ограниченной периодической функцией – . Поэтому траекторией движения точки М является отрезок на прямой <3 (рис. 2.18), В момент времени , в моменты времени , . Итак, точка М совершает гармонические колебания с амплитудой гармонических колебаний, равной 3. В момент времени , точка М имеет координату:
Рис. 2. 18
Вычислим скорость и ускорение точки М:
.
Точка М в заданный момент времени движется замедленно, т.к. , , поэтому вектор скорости и вектор ускорения направлены в противоположные стороны (рис. 2.18).
Обратная задача кинематики. Задано ускорение движущейся точки, как функция времени:
.
Требуется вычислить уравнение движения точки.
Ускорение точки связано со скоростью , а скорость с уравнением движения линейными дифференциальными уравнениями:
(2.14)
При решении обратной задачи необходима процедура, обратная дифференцированию, т.е. интегрирование. При интегрировании аналитических функций возникают неопределенные константы и функция , удовлетворяющая дифференциальным уравнениям (2.14), будет содержать две произвольные постоянные интегрирования (дважды интегрируем).
.
В каждой конкретной задаче постоянные интегрирования определяются из начальных условий задачи, поэтому при решении обратной задачи кинематики, необходимо формулировать эти условия. Начальные условия задачи определяют значения начальной координаты и начальной скорости точки.
Начальные условия задачи (2.15) |
Начальные условия задачи определяют единственное решение дифференциальных уравнений (2.15).
Алгоритм решения обратной задачи кинематики: в дифференциальных уравнениях (2.11) разделяют переменные, полученные
(2.16)
При интегрировании уравнений (2.16) с помощью определенных интегралов, нижние пределы интегрирования соответствуют значениям интегрируемых величин в начальный момент времени, т.е. начальным условиям задачи, верхние пределы интегрирования соответствуютзначению интегрируемых величин при текущем времени t.
Пример 2.7. Точка М движется прямолинейно по оси Оx со скоростью . В начальный момент времени точка находилась от начала отсчета на расстоянии . Определить уравнение движения точки.
Решение Имеем
Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим
Начальные условия задачи: Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение с разделенными переменными с учетом начальных условий задачи:
Получили уравнение равномерного прямолинейного движения точки.
Пример 2.8. Точка движется вдоль оси Оx с ускорением .
При , . Найти уравнение движения точки.
Решение. Имеем
.
Разделим переменные: умножим правую и левую части уравнения на dt, получим
Взяв от обеих частей равенства интегралы в соответствующих пределах, получим
.
Используя подстановку и разделяя переменные, получим:
.