Применение производной для исследования и построения графиков функций.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
Если 
(
) в интервале 
, то 
строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции.
Если функция дифференцируема в точке 
и достигает в этой точке максимума (минимума), то 
.
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции.
Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки 
для 
и 
для 
, то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для 
и для 
, то – точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке 
является условие 
(тогда это точка максимума) и 
(тогда это точка минимума). При этом считается, что 
имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .
|
|
График функции 
называется выпуклым в интервале 
, если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис.2)
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции.
Если 
в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же 
, то в интервале график функции вогнутый.
Точка 
графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если 
─ абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых 
или 
не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая 
является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:
или 
.
Прямая 
является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует 
или 
.
Прямая 
является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:
; 
При построении графика функции необходимо провести её предварительное исследование.
|
|
Примерная схема исследования функции с целью построения её графика имеет следующую структуру:
1) Область определения;
2) Пересечение с осями координат;
3) Чётность (нечётность);
4) Исследование по первой производной на возрастание, убывание и экстремумы;
5) Исследование по второй производной на выпуклость, вогнутость и точки перегиба;
6) Асимптоты;
7) Построение.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Исследуем и построим графики следующих функций.
Пример 1. 
.
Решение.
1) Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ.
2) Решив уравнение 
, получаем, что график функции пересекает ось 
в точках 
и 
.
Подставив 
в получаем, что график функции пересекает ось 
в точке 
.
3) Найдём 
. Поскольку 
и 
, то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида.
4) Вычислим производную: 
.
Производная обращается в нуль при 
и 
.
Построим интервалы монотонности (рис. 3): 
; 
Функция возрастает при 
и убывает при 
. Точка 
─ точка максимума, а точка 
─ точка минимума функции.
5) Найдем вторую производную:
.
Вторая производная обращается в нуль при и 
.
Построим интервалы выпуклости вогнутости (рис. 4): 
Вторая производная при переходе через точки 
меняет свой знак с минуса на плюс, а при переходе через точку ─ с плюса на минус. Следовательно, в точках , функция имеет перегиб.
В интервалах 
и 
график функции выпуклый, а в интервалах 
и 
─ вогнутый.
6) Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то её график не имеет вертикальных асимптот.
|
|
Выясним наличие у графика заданной функции наклонной асимптоты. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами:
;
Имеем
.
Таким образом, у графика заданной функции наклонной асимптоты нет.
7) Построим график исследуемой функции:
Пример 2. 
.
Решение.
1) Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ.
2) Решив уравнение 
, получаем, что график функции пересекает ось в точке 
.
Подставив в получаем, что график функции пересекает ось в точке 
.
3) Найдём 
.
Поскольку 
, то рассматриваемая функция является нечетной. Следовательно, график данной функции симметричен относительно .
4) Вычислим производную: 
.
Производная обращается в нуль при .
Построим интервалы монотонности (рис. 5):
Функция возрастает при 
и убывает при
. Точка 
─ точка максимума, а точка 
─ точка минимума функции.
5) Найдем вторую производную:
.
Вторая производная обращается в нуль при и 
.
Построим интервалы выпуклости вогнутости (рис. 6): 
Вторая производная при переходе через точки меняет свой знак с минуса на плюс, а при переходе через точку ─ с плюса на минус. Следовательно, в точках , функция имеет перегиб. В интервалах 
и 
график функции выпуклый, а в интервалах 
и 
─ вогнутый.
6) Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то её график не имеет вертикальных асимптот.
Выясним наличие у графика заданной функции наклонной асимптоты. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами:
;
Имеем
;
Таким образом, у графика заданной функции есть горизонтальная асимптота 
.
7) Построим график исследуемой функции:
