Тема. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ
ВОПРОСЫТЕМЫ:
Нахождение первообразной функции.
Методика нахождения первообразной.
Таблица первообразных.
Правила отыскания первообразных.
Домашнее задание
Вопрос 1. Нахождение первообразной функции.
Методика нахождения первообразной
Предыдущая тема была посвящена определению первообразной. Студентам необходимо повторим предыдущий материал.
Сегодняшняя тема посвящена нахождению первообразной.
Вспомним определение первообразной функции:
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции
y = f(x) на заданном промежутке X, если для всех x из X выполняется равенство F’(x) = f(x).
Методика нахождения первообразной на примерах:
Пример 1:
– первообразная для 
Чтобы это подтвердить, возьмем производную
, следовательно:
.
Пример 2:
первообразная для 
.
Чтобы это подтвердить, возьмем производную:
(3 cos x)’ = -3sin x, следовательно:
.
Итак, мы привели 2 примера, которые подтверждают определение и используют его.
Напомним, что при интегрировании ставится две задачи:
Прямая задача:
Дана функция F(x).
Надо найти F’(x) – производную этой заданной функции.
Процесс решения называется дифференцированием.
Обратная задача:
Дана функция f(x) – производная неизвестной функции F(x).
Надо найти F(x) – первообразную функции f(x).
Процесс решения называется интегрированием.
Вопрос 2. Таблица первообразных.
Правила отыскания первообразных
Для нахождения первообразной используются два основных инструмента:
- Таблица первообразных
- Правила для нахождения первообразных.
1. Первый инструмент – это Таблица первообразных, то есть нахождение F(x) с помощью Таблицы первообразных, которую повторим:
| Функция y = f(x) | Первообразная y = f(x) |
| |
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Проверим:
Аналогично проверяются все строчки таблицы. Для этого выполняются и проверяются соотношения: F’(x) = f(x).
2. Переходим к изучению второго инструмента: к Правилам отыскания первообразных.
Правило 1
Первообразная суммы равна сумме первообразных
Дано: 
Доказат ь: 
Доказательство:
что и требовалось доказать.
Пример 1
Функция состоит из двух функций. Найти первообразную функции:
Пример подтверждает Правило 1.
Правило 2
О постоянном множителе
Дано: 
, то есть 
– первообразная для f, k – const.
Доказать: kF – первообразная для kf.
Доказательство:
Доказательство основывается на определении первообразной и на правиле дифференцирования: 
. Что и требовалось доказать.
Смысл правила: если мы знаем первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf, нужно первообразную F умножить на k.
Подтверждающий пример:
Правило 3
Если 
– первообразная для функции 
, то 
первообразная для 
Дано: 
.
Доказать: 
Доказательство:
, что и т.д.
Пример:
Если 
, то 
Проверка: (
. 
.
Необходимые пояснения: вместо х мы имеем скобку (2х+1).
Как это отражается на нахождении первообразной?
Следующим образом: первообразная от 
но надо разделить на коэффициент при х.
Пример 1
Найти одну из первообразных для функции
Решение: 
Ответ: 
Проверка: 
. 
.
Пример 2
Найти одну из первообразных для функции
Решение:
Ответ:
Проверка:
= 
То есть 
.
Вопрос 3. Домашнее задание
1. Найти одну из первообразных для функции 
2. Найти одну из первообразных для функции 
Студентам:
- Выучить представленный материал (инструменты для нахождения первообразной);
- в тетрадь по математике внести:
• конспект темы;
• решение представленных для объяснения примеров;
• решение примеров домашнего задания.