Практическая работа №5
Цель работы: Научиться определять наилучшие настройки регулятора локальной системы регулирования, обеспечивающие необходимые запасы устойчивости и наибольшее быстродействие. То есть, научиться решать задачу синтеза с помощью инструментальных средств MATLAB’а.
Объект: Локальная система регулирования, представленная структурной схемой, изображенной на рисунке 1.
Рисунок 1 – Структурная схема локальной системы регулирования
Передаточные функции элементов САУ:
Wдпт(p) = 5,3/(10р+1); Wр(р) = 5,3; Wро(р) = 0,03; Wд(р) = 1,5;
В представленной системе регулирования регулятором (звеном, свойства которого можно изменять, т.е. производить синтез системы регулирования) является звено Wу.
Передаточная функция регулятора:
(1)
Таким образом, по стандартной классификации в синтезируемой системе в качестве регулятора применяется ПИ-регулятор.
Требования к САР:
1. Статическая ошибка – не более 0,05%;
2. Запас устойчивости по амплитуде DL – не менее 10 дБ;
3. Запас устойчивости по фазе Dj – не менее 45°;
4. Максимальное перерегулирование s – не более 10%;
5. Время переходного процесса tпп – минимальное.
Границы допустимых значений коэффициентов регулятора:
1. Коэффициент пропорциональной части kп – от 0,01 до 999;
2. Коэффициент интегрирующей части kи – от 0,01 до 99,9.
Этапы синтеза:
1) Определяется зависимость статической ошибки от параметров регулятора.
Листинг выполняемых команд:
>> syms Wdpt Wp Wpo Wd Wtou Wu p ki kp
>> Wdpt=5.3/(10*p+1);
>> Wp=5.3;
>> Wpo=0.03;
>> Wtou=(0.09641*p^4+0.002393*p^3+0.01273*p^2-0.00248*p+0.0002822)/ (p^5+0.8903*p^4+0.4754*p^3+0.1395*p^2+0.01102*p+0.0003309);
>> Wd=1.5;
>> Wu=kp+ki/p;
>> Wraz=Wu*Wdpt*Wp*Wpo*Wtou;
>> Wz=Wraz/(1+Wraz*Wd);
>> Wz1=simplify(Wz);
>> p=0;
>> Wz2=subs(Wz1)
Wz2 = 8367193415382812253/12550790123074217984
>> 8367193415382812253/12550790123074217984
ans =
0.6667
Таким образом, получили в установившемся (статическом) режиме:
Wзам(0) =0,6667,
то есть, ошибка регулирования составляет:
Dст = yуст – 1 = Wзам(0) – 1 = 0,6667 – 1 = -0,3333,
и не зависит от коэффициентов регулятора.
Ошибка регулирования в системе возникает из-за не единичного коэффициента усиления обратной связи.
Для того чтобы обеспечить первое требование к САР, необходимо найти коэффициент усиления корректирующего звена, добавленного в обратную связь с целью обеспечить ее коэффициент усиления равный единице.
Введем в обратную связь передаточную функцию:
Wкос(p) = kк. (2)
Для определения влияния коэффициента kк на статическую ошибку выполним следующие действия:
>> syms kk
>> Wkos=kk;
>> Wraz=Wu*Wdpt*Wp*Wpo*Wtou;
>> Wz=Wraz/(1+Wraz*Wd*Wkos);
>> Wz1=simplify(Wz)
>> Wz2=subs(Wz1)
Wz2 = 8367193415382812253/12550790123074217984/kk
или
Wz2 = 0.6667/kk
Определяем значение коэффициента kк, при котором Dст = 0:
>> syms dst
>> dst = 0.6667/kk - 1
dst = 6667/10000/kk-1
>> solve('0.6667/kk-1=0')
ans = 0.6667
Следовательно, для обеспечения первого требования к САР необходимо ввести в обратную связь корректирующее звено с передаточной функцией:
Wкос(p) = 0,6667.
2) Настраиваемая система переносится в расширение SISO Design Tools;
На рисунке 2 представлена структурная схема, соответствующая символу G (основа), на рисунке 3 – символу С (компенсатор).
Рисунок 2 – Структурная схема, соответствующая символу G:
в блоке Derivative необходимо установить константу линеаризации в значение 0,001
Рисунок 3 – Структурная схема, соответствующая символу С
Передаточная функция обратной связи, с учетом введенного корректирующего звена, будет равна единице.
Необходимо обратить внимание на то, что передаточная функция регулятора, при переносе ее в SISO Design Tool, будет преобразована. Получившуюся передаточную функцию регулятора можно увидеть на вкладке Compensator Editor.
В нашем случае получили:
(3)
Полученная передаточная функция полностью соответствует передаточной функции (1) с учетом принятых значений коэффициентов
kп =1 и kи = 2 (рис. 3). Это может быть доказано цепочкой преобразований:
или
Таким образом, в поле ввода на вкладке Compensator Editor явным образом может быть задан коэффициент kи. Значение коэффициента kп можно будет вычислить следующим образом:
(4)
то есть, просто перемножив значение в поле ввода и значение при операторе Лапласа p
3) Определяются границы устойчивости системы. То есть необходимо определить, при каких значениях kи будет наблюдаться случай, когда DL » 0 Дб.
Поскольку регулируемых параметра два, то получим двумерную границу устойчивости.
С учетом особенностей программы, зададимся значениями kи, а полученные значения kп (по формуле 4) будем вычислять для найденной границы устойчивости. Найденные значения будем записывать в
таблицы 1 и 2.
Для нахождения границы устойчивости с установленным значением kи (фиксированное для любой строки таблицы 1) будем перемещать ТОЛЬКО полюс передаточной функции регулятора. Поскольку полюс можно перемещать как влево (в сторону уменьшения частоты) так и вправо (в сторону увеличения частоты), то границу устойчивости найденную на меньших частотах будем называть «левой границей», а границу найденную на больших частотах – «правой границей».
Наличие одновременно двух границ не обязательно, как не обязательно и отсутствие одной из границ.
Для построения границ устойчивости обычно хватает шести точек, но могут потребоваться некоторые уточнения.
В случае наличия одновременно и левой и правой границ устойчивости они обязательно сойдутся в одной точке.
Также не следует забывать о существовании границ допустимых значений коэффициентов регулятора.
Для некоторых систем возможно существование нескольких зон устойчивости в пределах границ допустимых значений коэффициентов регулятора, но эти случаи очень редки.
Таблица 1 – Граница устойчивости
| kи | Левая граница | Правая граница | ||
| kп / kи | kп | kп / kи | kп | |
| 0,01 | 2,1 | --- | --- | |
| 0,02 | 1,94 | --- | --- | |
| 0,03 | 1,77 | --- | --- | |
| 0,035 | 1,645 | 1,2 | 0,042 | |
| 0,04 | 1,52 | 5,9 | 0,236 | |
| 0,045 | 1,26 | 0,495 | ||
| 0,047 | 1,128 | 0,705 | ||
| 0,049 | 0,98 | 0,882 | ||
| 0,04979 | 0,94601 | 0,94601 |
Найденные границы отображаются на графике границ устойчивости (рис. 4).
Рисунок 4 – Границы устойчивости системы и область допустимых значений коэффициентов регулятора
4) Определяются границы устойчивости по заданным значениям показателей устойчивости.
Аналогично пункту 3, необходимо добиться DL ³ 10 Дб. Если при этом запас по фазе входит в заданные пределы, то необходимое значение найдено. В случае если запас по фазе не входит в нужные пределы, то завышают запас по амплитуде, чтобы достичь нужного значения запаса по фазе.
Таблица 2 – Граница требуемых значений устойчивости
| kи | Левая граница | Правая граница | ||
| kп / kи | kп | kп / kи | kп | |
| 0,01 | 0,54 | --- | --- | |
| 0,013 | 0,455 | 7,5 | 0,0975 | |
| 0,015 | 0,33 | 0,255 | ||
| 0,0151 | 0,302 | 0,2718 | ||
| 0,01511 | 0,3022 | 0,3022 |
Рисунок 5 – Границы устойчивости системы, область допустимых значений коэффициентов регулятора и границы допустимых значений с учетом требований устойчивости
5) Необходимо построить зависимости времени переходного процесса и перерегулирования от коэффициентов регулятора.
Очевидно, что должны быть построены два трехмерных графика.
Значения параметров, для которых должны быть построены трехмерные графики, приведены в таблице 3, как и полученные значения tпп и s.
Таблица 3 – Зависимости времени переходного процесса и перерегулирования от коэффициентов регулятора (в таблице указано tпп / s)
| kи | kп / kи | 0,01 | kп / kи | 0,013 | kп / kи | 0,015 |
| kп | ||||||
| 0,01 | ||||||
| 7,77 | ||||||
| 0,1 | ||||||
| 2,2 | 12,3 | |||||
| 0,25 | ||||||
| 3,3 | ||||||
| 0,4 | ||||||
| 0,54 | ||||||
Выделенные значения в таблице являются наилучшими.
Таким образом, получили наилучшую настройку САР: kп = 0,25 и
kи = 0,013.
Рисунок 6 – Зависимость времени переходного процесса tпп от параметров регулятора
Рисунок 7 – Зависимость перерегулирования s от параметров регулятора
Самостоятельное задание:
Для системы, изображенной на рисунке 1 найти оптимальное сочетание коэффициентов регулятора Wу.
Передаточные функции элементов САУ:
Wдпт(p) = 12,4/(6р+1); Wр(р) = 0,1; Wро(р) = 0,8; Wд(р) = 2,3;
Передаточная функция регулятора:
Требования к САР такие же как и для примера.
Контрольные вопросы.