Задача учителя при изучении нумерации чисел в пределах 100 – научить учеников считать до 100, показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа, познакомить с новыми терминами: «единицы 1-го и 2-го разрядов», «сумма разрядных слагаемых», «однозначное и двузначное число». В изучении нумерации выделяются две ступени: нумерация чисел 11 – 20; нумерация чисел 21 – 100. Это объясняется тем, что названия чисел второго десятка противоречат способу их записи. Во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают. Эта особенность нумерации требует того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно. Числа второго десятка – двузначные числа. Для записи двузначного числа используется две цифры. Первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа – цифра второго разряда или разряда десятков. Формирование представления о двузначных числах строится на основе понятия «разряд», которое является базовым в десятичной системе счисления. Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд – это позиция цифры в записи числа). Знакомство с числами второго десятка (11 - 20) удобно проводить в следующей последовательности:
по способу их образования и названия чисел, сопровождая его сначала моделью на счетных палочках, а затем чтением числа по модели. В старину десяток называли «дцать». Учитель берет одну счетную палочку и кладет ее на пучок из десяти счетных палочек – десяток. Появляется запись на доске: один-на дцать, три-на-дцать, сем-на-дцать и т. д. Запоминание названий двузначных чисел в этом случае не будет затруднено для учеников противоречащей названию записью: 11,13, 17. Для формирования правильного представления о структуре двузначного числа следует всегда класть десятки слева, а единицы справа.
Завершает изучение нумерации в пределах сотни знакомство с числом 100. Десять десятков составляют одну сотню(100) – наименьшее трехзначное число.
|
|
Вопрос 4. Методика изучения нумерации чисел в пределах тысячи.
Нумерация чисел в пределах 1000 - это третий этап в изучении нумерации целых неотрицательных чисел. Здесь повторяются, уточняются, закрепляются и расширяются знания, полученные при изучении двузначных чисел.
В этом концентре заканчивается изучение чисел первого класса – класса единиц, что является основой для усвоения нумерации многозначных чисел. Следующие классы – класс тысяч, класс миллионов – строятся по аналогии с первым классом.
В концентре «Тысяча» закрепляются знания устных приемов вычислений. Как и раньше, приемы вычислений раскрываются с опорой на теорию арифметических действий (свойства арифметических действий, взаимосвязь прямых и обратных действий). Это дает возможность использовать изученные приемы вычислений, а также «открыть» новые вычислительные приемы.
Изучение устной нумерации в пределах 1000 начинается с формирования у детей понятия о сотне как о новой счетной единице. Для этого считают какие-либо предметы по одному, десятками, сотнями. Используют палочки и пучки палочек. С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 десятков и заменяют их одной тысячей. Под руководством учителя дети устанавливают и записывают соотношения между разрядными единицами: 10 единиц составляют 1 десятков, 10 десятков составляют 1 сотню, 10 сотен составляют 1 тысячу.
|
|
Задачи изучения темы:
1. Сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице второго класса.
2. Научить читать и записывать многозначные числа.
3. Обобщить знания детей о нумерации целых неотрицательных чисел.
На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания детей о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципе записи трехзначных чисел.
Вопрос 5. Методика изучения нумерации чисел в пределах миллиона.
Нумерация многозначных чисел и действия над ними выделяются в особый концентр потому, что нумерация чисел за пределами 1000 имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются, записываются с опорой не только на понятия разряда, но и на понятие класса. Необходимо раскрыть это важнейшее понятие системы счисления.
Арифметические действия над многозначными числами выполняются с использованием как устных, так и письменных приемов вычислений.
Изучение нумерации многозначных чисел начинают с того, что повторяют, как можно получить тысячу. Присчитывая по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое, самое маленькое четырехзначное – 1000. Используя счеты, повторяют также образование разрядных единиц в результате группировки предшествующих, более мелких единиц (10 ед. = 1 дес.; 10 дес. = 1 сот.; 10 сот. = 1 тыс.).
|
|
Записывают, для сравнения:
10 ед.тыс. = 1 дес.тыс., 10 дес.тыс. = 1 сот.тыс., 10 сот.тыс. = 1 млн.
10 ед. = 1 дес., 10 дес. = 1 сот., 10 сот. = 1 тыс.
Затем работают с нумерационной таблицей, в которой обозначены названия всех разрядных единиц от единиц до миллионов. Единицы, десятки и сотни образуют 1 класс, класс единиц. Единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч составляют II класс, класс тысяч. В настоящее время учащихся знакомят и с классом миллионов, с III классом.
| II класс – класс тысяч | I класс – класс единиц | ||||
| сотни тысяч | десятки тысяч | единицы тысяч | сотни | десятки | единицы |
Если этот материал будет детьми усвоен, то изучение класса миллионов, класса миллиардов и класса триллионов не вызовет у них особых трудностей. Используя в основном в качестве средства обучения таблицу разрядов и классов, учитель при активном участии детей покажет:
- каждый из названных классов содержит три разряда;
- каждый класс имеет единицу счета (миллион, миллиард, триллион);
- для чтения многозначного числа его надо разбить на классы, отделяя по три цифры, начиная справа;
- при чтении многозначного числа называется количество единиц каждого класса и его название (кроме класса единиц), начиная с высшего;
- при записи многозначного числа вначале записывается количество единиц высшего класса, делается небольшой промежуток (или ставится точка), затем записывается количество единиц следующего (низшего) класса и т.д.
Вопрос 6. Первоначальное ознакомление учащихся с действием сложения. Ознакомление учащихся с действием вычитания.
Действия сложения рассматриваются как нахождение числа элементов в двух непересекающихся множествах. Такой подход называется теоретико-множественный. Он представлен в подавляющем большинстве учебных программ по математике и соответствующих учебниках. Этот подход популярен, потому что он дает возможность легко переводить предметные действия на математический язык и наоборот.
Рассмотрим теоретико-множественный подход к разъяснению смысла действия сложения.
Задачи учителя:
1. Раскрыть теоретико-множественный смысл сложения.
2. Научить учащихся переводить предметные действия сложения на математический язык и наоборот.
3. Научить способам прочтения выражений, содержащих знак «+».
4. Научить составлять рисунки по представленным математическим выражениям и наоборот.
На поляне росло 3 гриба, за ночь прошел дождик, выросло еще 2 гриба.
Переведите на математический язык.
Грибов стало больше или меньше?
Чтобы присоединить 2 гриба и 3 грибам есть действие сложения.
Вводится знак «+».3+2
Ознакомление со способами прочтения данной записи.
«Три плюс два»
«К трем прибавить два»
«Три увеличить на два.
Следует отметить, что множество всех упражнений, целью которых является ознакомление учащихся с действием сложения можно разделить на 3 комплекса:
1) Составление по рассказу (рисунку) математического выражения.
OOO ß OO
3+2
2) Детям предлагается то или иное математическое выражение и по нему предлагается составить рассказ или рисунок.
2+1
| | ß |
3) Детям нужно соотнести рисунок и выражение.
OOßO
1+2
2+3
3+2
4+1
1+4
1+1
Вычитание:
Это второе из арифмет. действий, с которым знакомятся учащиеся в процессе, изучения математики в нач. школе.
Ознакомление с действием «вычитание» происходит на этапе изучения матем. в концентре «десяток». Для того, чтобы ознакомить учащихся со смыслом действия «вычитания» рекомендуется строить свою работу так:
Уч-ся предлагается предметная ситуация, по которой строится математическая запись:
3-2
Для того, чтобы рассказ. об этом на матем. языке, нам понадобиться арифмет. действие, кот. наз. действием «вычитание».
Учитель демонстрирует знак, с помощью кот. обозн. действие вычитание на матем. языке. Этот знак наз. минус и записывается так «-», учителем показывается запись и способ прочтения представл. записи (из 3-х вычесть 2; 3 минус 2).
Примечание:
- нбх развивать матем. речь уч-ся нач. шк.
- отрабатывать матем. Лексику
- учить уч-ков комментировать свои действия, употребляя матем. термины.
Такая работа будет способствовать развитию у уч-ся матем. и логич. мышления, а также осознан. фор-ю у них матем.понятий.
Вопрос 7. Методика изучения таблицы сложения однозначных чисел и соответсвующих чисел случаев вычитания.
1-й этап: учащиеся усваивают, что последующее число получается из предыдущего присчитыванием единицы, а предшествующее - из последующего отсчитыванием единицы, свободно выполняют прибавление и вычитание единицы.
2-й этап: обучение прибавлению и вычитанию чисел 2, 3, 4 на основе метода прибавления и отнимания по частям, а также знаний о составе чисел 2, 3, 4. Выполняются упражнения вида а+1+1, а-1-1. (если прибавить 1 и еще 1, то прибавим 2). Аналогично с числами 3 и 4: вспоминается состав чисел 3 и 4, 3 представляется как 2+1 или 1+2, 4 – как 2+2 или 3+1(1+3). Работа по изучению случаев а±3, а±4 заканчивается составлением таблиц сложения и вычитания.
6=4+2 6=3+3
7=5+2 7=4+3
8=6+2 8=5+3
9=7+2 9=6+3
10=8+2 10=7+3 и т.п.
3-й этап:учащиеся осваивают случаи а+5, а+6, а+7, а+8, а+9. При этом второе слагаемое больше первого, прибавление его по частям осуществить трудно. Учащиеся с помощью учителя делают вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Составляется таблица случаев, которые необходимо знать на память:
2+2=4
3+2=5
4+2=6 3+3=6
5+2=7 4+3=7
6+2=8 5+3=8 4+4=8
7+2=9 6+3=9 5+4=9
8+2=10 7+3=10 6+4=10 5+5=10.
4-й этап: освоение учащимися связи между суммой и слагаемыми: если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, получится другое слагаемое. Знание этой связи в дальнейшем используется для нахождения результатов вычитания.
Вопрос 8. Методика формирования приёмов устного сложения и вычитания.
Первыми изучаются случаи сложения и вычитания круглых десятков, где вычисления основаны на знании нумерации и таблицы сложения в пределах 10.
40 + 20 = 60 50 - 30 = 20 4 дес. + 2 дес. = 6 дес. 5 дес. - 3 дес. = 2 дес.
При рассмотрении первых случае вида 25+3 и 20+36 для раскрытия вычислительного приема в качестве средств наглядности целесообразно использовать счетные палочки или полоски с кружочками.
Предложив детям изобразить слагаемые с помощью палочек (кружочков), выполняем соответствующие операции и записи:
25 + 3 = 28 20 + 36 = 56
/\ /\
20+5+3 20+30+6
В итоге подводим детей к выводам:
- единицы складываем с единицами;
- десятки складываем с десятками.
Случаи вычитания вида 48 - 2, 48 - 20 рассматриваются аналогично. Случаям вида
40-3 следует уделить больше внимания. Используя палочки, надо показать детям, как свести рассуждения к использованию одного из выведенных ранее выводов: единицы вычитаем из единиц.
40 - 3
/\
30+10 – 3 10-3=7 30+7=37
Последними из устных приемов рассматриваются случаи вида:
37 + 8 и 37 - 8.
Вычислительный прием для этих случаев отличается от рассмотренных ранее. Для случаев сложения вычислительный прием напоминает рассуждения при сложении однозначных чисел с переходом через десяток. Поэтому их следует рассмотреть в сравнении. Вспомнив рассуждения для случая 7+8, следует перейти к случаю 37 + 8 и показать, что
здесь первое слагаемое дополняем не до 10, а до ближайшего круглого числа, а второе слагаемое разбивается опять на два слагаемых:
7 + 8 = 15 37 + 8 = 45
/\ /\
7+3+5 37+3+5
10+5=1540+5=45
Для случаев вычитания вычислительный прием также напоминает рассуждения для случаев вычитания в пределах 20. Повторив эти случаи осуждения, также следует рассмотреть, сопоставляя их.
17 – 8 = 9 37 – 8 = 29
/\ /\
17 –7 - 1 37– 7 - 1
10-1=9 30-1=29
Вопрос 9. Методика формирования приёмов письменного сложения и вычитания многозначных чисел.
Сложение.
Сначала рассматривается сложение многозначных чисел без перехода через разряд, затем переход через 1 разряд, затем через 2, не рядом стоящих, затем во многих разрядах, рядом и не рядом стоящих.
Упражнения (при знакомстве):
63+35; 263+435; 1263+5435; 71263+25435 Вывод: многозначные числа складываются так же, так и 2-значные и 3-значные(единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.)
Ошибки и их предупреждение:
• Неправильная запись слагаемых столбиком (не разряд под разрядом). Причина: не усвоен алгоритм
Пути исправления: проговаривание алгоритма, требование аккуратности письма (каждая цифра в своей клетке), решение с проверкой.
• 5329+2427=7746 (забыл прибавить десяток)
Пути исправления: подробное проговаривание алгоритма, подписывание карандашом, проверка вычитанием.
• 7538+1227=8766 (незнание таблицы сложения)
Пути исправления: вернуться к табличному сложению, проверка вычитанием.
Приём упрощения решения от преобразования компонента:
4599+4318=(4600+4318)-1=8817
Вычитание.
Сложные случаи вычитания: 6000-248
способ решения: занимаем 1 тысячу. 1000=9сотен+9десятков+10единиц
.9 9 10
6000
- 248
5752
Ошибки и их предупреждение:
1). Неправильная запись чисел (разряд под разрядом) – проговаривание алгоритма, каждая цифра в своей клетке!
2). Неправильная замена высшего разряда низшим (задания вида 100=*дес. и т.д.)
3). Забыли, что ранее заняли какой-то разряд (точки)
4). Неверное вычитание в пределах 20 (таблица вычитания)
Вопрос 10. Первоначальное ознакомление учащихся с действием умножения. Ознакомление учащихся с действием деления.
Ознакомление учащихся с действием умножения происходит перед изучением табличных случаев умножения и деления.
Задачи:
1. Раскрыть перед учащимися смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и теоретико-множественный смысл умножения.
2. Научить переводить предметные действия, связанные с умножением на математический язык и обратно.
3. Научить учащихся читать выражения, содержащие действие умножения.
Для того, чтобы ознакомить учащихся с умножением, рекомендуется на уроках создать следующую ситуацию:
Мама купила в магазине ручки четырем детям. Каждому ребенку по 3 ручки. И разложила их в коробки. Учитель предлагает запись на математическом языке: 3+3+3+3Что интересного в этой записи? Чтобы записать сложение одинаковых чисел в математике существует действие умножения. На первом месте: число, которое участвует в действии. На втором месте: сколько раз взяли число. Между ними знак «•»3+3+3+3=3•4
Способы прочтения:
- по 3 взяли 4 раза;
- 3 умножить на 4.
(!1й множитель указывает на слагаемое, 2й – на количество!)
Изучение действия деления происходит параллельно с изучением соответственных случаев умножения. Это методически обосновано, т.е. без введения понятия действия деления невозможно в полном объёме изучить действия умножения.
Этапы:
1. знакомство с действием деления и его результатов.
2. ознакомление и формирование вычислительных навыков, через ознакомление учащихся с вычислительными приёмами.
Задачи:
1. научить строить математическую модель предметных действий связанных с действием деления и выполнение предметных действий по математической модели.
2. научить читать математическое выражение содержащее действие деление.
-действие рассматривается как нахождение числа элементов в некотором попарно не пересекающемся равномощным между собой множествах (деление на равные части).
-как нахождение числа подмножеств, на которые разбивается данное множество (деление по содержанию)
Упражнения, разъясняющие смысл действия ÷:
1) «6 карандашей разделили по 2 каждому ученику» OOOOOO(OO) (OO) (OO) 6:2=3
2) «9 кусков сахара положили поровну в 3 стакана» () () () 9:3=3
Вопрос 11. Методика изучения таблицы умножения однозначных чисел и соответствующих случаев деления.
Изучение таблицы умножения и деления предлагает следующие моменты:
- работа по составлению таблицы;
- работа, обеспечивающая ее запоминание.
Что значит составить таблицу? Это не просто записать случаи умножения и деления. При составлении этих таблиц главная задача учителя - научить детей осмысленно находить результат в каждой из них.
Начинается работа по составлению первых таблиц умножения и деления еще на этапе подготовки.
Так после раскрытия смысла действия умножения составляется первая таблица умножения числа 2. Здесь важно показать детям принцип получения результата действия.
2 · 2 2+2
2 · 3 2+2+2
2 · 4 2+2+2+2
2 · 5 2+2+2+2+2
2 · 6 2+2+2+2+2+2
2 · 7 2+2+2+2+2+2+2
2 · 8 2+2+2+2+2+2+2+2
2 · 9 2+2+2+2+2+2+2+2+2
После рассмотрения переместительного свойства умножения составляется таблица умножения на число 2.
3 · 2 7 · 2
4 · 2 8 · 2
5 · 2 9 · 2
6 · 2
При изучении вопроса о нахождении неизвестного множителя мы уже отмечали, что учащимся показывается принцип составления взаимообратных примеров на умножение и деление:
8 · 3 24: 8 24: 3
Таким образом, уже на подготовительном этапе перед изучением таблицы умножения и деления мы познакомили детей с принципом составления и способами их пользования.
Например, если 3 · 4=12, то 4 · 3 = 12, т.к. от перестановки множителей произведение не меняется. 12: 3 = 4 и 12: 4 = 3, т.к. если произведение 12 разделим на первый множитель 3, то получим второй множитель 4, а если разделим на второй множитель 4, то получим первый множитель 3.
Целесообразно при работе с таблицей, ориентируя детей на обязательное заучивание первого столбика, учить их как, зная результат первого столбика, получить результаты остальных в данной строчке, и даже практиковать построчное заучивание.
Вопрос 12. Методика формирования приёмов устного умножения.
При выполнении устного умножения и деления, также как при сложении и вычитании, учащиеся прибегают к различным вычислительным приемам. Овладение вычислительными приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100 (разрядного состава двузначного числа), табличных случаев сложения (вычитания), умножения (деления), переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения, а также свойства деления суммы на число.
В начальном курсе математики приемы устного умножения используются при умножении двузначного числа на однозначное. Усвоение распределительного свойства умножения позволяет детям высказать догадку о возможном способе действий при умножении двузначного числа на однозначное.
а)37*2
Я буду рассуждать так: 37•2=37+37=74
А я — так: 37 • 2=(30+7) • 2= (30 • 2)+(7 • 2)=60+14=74
Вывод: при умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения.
Вопрос 13. Методика формирования приёмов устного деления.
При выполнении устного умножения и деления, также как при сложении и вычитании, учащиеся прибегают к различным вычислительным приемам. Овладение вычислительными приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100 (разрядного состава двузначного числа), табличных случаев сложения (вычитания), умножения (деления), а также свойства деления суммы на число.
В начальном курсе математики приемы устного деления используются при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное.
В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит свойство деления суммы на число. Процесс формирования данного приема целесообразно сориентировать на усвоение учащимися общего способа действий, при котором делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число.
Владея этим способом, ребята смогут выполнять вычисления различных случаев деления двузначного числа на однозначное.
Для организации деятельности учащихся можно использовать учебные задания: Вычисли значение выражения 52:4.
Миша: Я думаю, нужно представить 52 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. В этом случае можно разделить на 4 каждое слагаемое и полученные результаты сложить: (28+24):4=28:4+24:4=7+6=13 (20+32):4=20:4+32:4=5+8=13 Подумай, какие еще выражения можно составить по этому правилу.
При делении двузначного числа на двузначное учащиеся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь умножения и деления.
Для организации деятельности класса, направленной на «открытие» и усвоение приема деления двузначного числа на двузначное, предлагается задание: Составь верные равенства, используя данные числа: 96,6, 16
Для его выполнения учащиеся могут воспользоваться уже известными им вычислительными приемами и правилами о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления.
Возможны два способа действия:
1. Умножить меньшее двузначное число на однозначное и получить равенство: 16 • 6=96. Пользуясь переместительным свойством умножения, записать второе равенство: 6-16=96. Теперь можно воспользоваться правилом: если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель, — и записать еще два равенства, удовлетворяющие условию задания: 96:6=16, 96:16=6.
2. Разделить двузначное число на однозначное, пользуясь правилом деления суммы на число, и записать равенство: 96:6=16.
Теперь можно воспользоваться правилами: а) если значение частного умножить на делитель, то получим делимое; б) если делимое разделить на значение частного, то получим делитель, — и записать равенства: 16-6=96, 96:16=6. В процессе обсуждения приведенных выше способов выполнения задания дети приходят к выводу, что при делении двузначного числа на двузначное целесообразно пользоваться приемом подбора частного.
Вопрос 14. Методика формирования приёмов письменного умножения.
Объяснение письменного умножения на однозначное число, как и сложения, не нуждается в опоре на предметные наглядные пособия; здесь достаточно только подчеркнуть строгую поразрядность выполнения этого действия, отразив это в первой записи умножения следующим образом. Допустим, что нужно 324 умножить на 2. После разбора состава числа 324 учитель записывает этот пример
так: 3 сот.2.дес.4 ед.
*
2
---------------------------
6сот.4 дес.8 ед=648
Из этой записи видно, что умножение трехзначного числа сводится к умножению каждого разряда этого числа начиная с единиц.
Вопрос 15. Методика изучения темы «Деление с остатком» в нач. курсе математики.
Деление с остатком бывает двух видов: табличное деление и внетабличное деление на однозначное и двузначное число.
Объяснение деления с остатком можно провести на наглядных пособиях, пользуясь решением тех или иных практических задач. Пусть например, требуется оклеить карточку квадратной формы со стороной 8 см, а у нас имеется 35 см бумажной ленты. Спрашивается, сколько раз по 8 см содержится в 35 см и сколько еще сантиметров ленты останется. Отрезая по 8 см, ученики убеждаются в том, что 8 см в 35 см содержится 4 раза и останется еще 3 см. Это записывается так: 35 см: 8 см = 4 (ост. 3 см).
Проверкой решения устанавливается соотношение между делимым, делителем, частным и остатком. Так, в приведенном выше примере мы имеем 35: 8 = 4 (3); 35 = 8 х 4 + 3. Эта зависимость между компонентами используется для объяснения деления с остатком на отвлеченных числах. Предварительно решаются примеры вида: 6 х 5 + 1 = 31.
Затем ставится вопрос: как 31 разделить на 6? Из решения примера видно, что число 31 разлагается на 2 числа: 30, которое делится на 6, и 1 (остаток). Сопоставляя строчки, будем иметь: 6 х 5 + 1 = 31; 31: 6 = 5 (1).
Отсюда делается вывод, что из числа 31, которое нужно разделить, берется наибольшее число единиц, которое делится на 6 без остатка, а единица остается в остатке.
В дальнейшем при делении с остатком частное находится путем умножения. Так, если дано 58 разделить на 8, нужно поставить вопрос: какое ближайшее число делится на 8 нацело? Если учащиеся затрудняются ответить на этот вопрос, учитель предлагает им найти частное методом проб. Найдя 7, ученик отвечает — 56. После этого делается запись: 58: 8 == 7 (остаток 2).
Аналогичные приемы применяются и при ознакомлении детей с внетабличным делением с остатком в пределах ста: 75: 6 = 12 (остаток 3).
Вопрос 16. Методика формирования приёмов письменного деления.
Письменное деление — сложное действие. Оно состоит из ряда вычислительных операций, и каждую из них надо объяснить тщательно.
Допустим, что решается пример: 
Решение его сопровождается следующим объяснением: 4 сотни делим на 6; сотен в частном не получится. Раздробим 4 сотни в десятки, получим 40 десятков. 40 десятков да еще 5 десятков составляют 45 десятков. Разделим их на 6, получим 7 десятков. Узнаем, сколько всего десятков мы разделили; для этого умножим 6 на 7, получим 42 десятка.
Узнаем, сколько десятков осталось разделить; для этого от 45 десятков отнимем 42 десятка, получим 3 десятка. 3 меньше 6 (остаток меньше делителя), значит, цифра в частном взята правильно. Раздробим 3 десятка в единицы, получим 30, да еще 6, всего 36 единиц. Делим их на 6, получится 6 единиц. Итак, всего получилось 7 дес. и 6 ед., или 76. Проверим: 76 X 6 = 456. По мере усвоения навыка деления объяснения становятся более краткими.
Вопрос 17. Ознакомление учащихся со св-ми арифметических действий. Применение св-в действий при вычислениях.
Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий. Это переместительное свойство сложения и умножения, распределительное свойство умножения и деления, а также свойства: прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы, прибавление суммы к числу, вычитание суммы из числа, прибавление суммы к сумме, вычитание суммы из суммы, умножение числа на сумму и суммы на число, деление суммы на число, умножение числа на произведение, деление числа на произведение. Каждое из названных свойств раскрывается на основе практических операций над множествами или над числами, в результате чего учащиеся должны прийти к обобщению. Для усвоения свойств в курсе предусматривается система специальных обобщений, но главная сфера применения свойств - это раскрытие на их основе вычислительных приемов. Например, уже в 1 классе после изучения переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых для случаев вида: 2+6; случаю 54-20 предшествует рассмотрение разных способов вычитания числа из суммы, на основе чего раскрывается вычислительный прием: 54 - 20 =(50 + 4)- 20 = (5 0-20) + 4=3 4
Опираясь на свойства арифметических действий, связь между результатами и компонентами действий и десятичный состав чисел, рассматриваются приемы вычислений почти для всех случаев, рассматриваемых в начальном курсе. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, так как учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны при такой системе лучше усваиваются свойства действий, а другие вопросы курса.
Вопрос 18. Методика формирования понятий «меньше на нес-ко единиц» и «больше на нес-ко единиц», «меньше в нес-ко раз» и «больше в нес-ко раз».
Представления о понятии «меньше на»(«уменьшить на») связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же») и ее уменьшить на несколько предметов («без»). Вводится правило о разностном сравнении чисел: чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого надо из большего вычесть меньшее (В саду посадили 8 яблонь. Это на 3 больше, чем слив. Сколько слив посадили в саду?). Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Поэтому надо сразу объяснить ребятам, что запись 2*5 можно читать по-разному: 2повторить 5 раз, по2 взять 5 раз, 2 умножить на 5 и 2 увеличить в 5 раз. Понятие «увеличить в» целесообразно ввести сразу после знакомства со смыслом умножения. Одновременное использование в одном задании понятий увеличь на и увеличь в позволит ученикам лучше дифференцировать их и допускать меньше ошибок, применяя эти понятия к решению задач. Для этого предлагаются задания на соотнесение рисунка и математической записи (выражения); на запись и выбор выражений, соответствующих паре рисунков. Формирование представлений о смысле деления сопряжено с введением понятия «уменьшить в несколько раз (меньше в)». Ориентируясь на известные понятия «увеличь на» и увеличь в, учащиеся высказывают предположения о том, что выражение 12:4 связано с понятием уменьшить в. Обоснованием этого предположения является анализ рисунка (слева три круга, справа 3 круга повторяются 4 раза. Это значит, что количество кругов увеличили в 4 раза. Справа 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим кругов в 4 раза меньше). Овладев понятиями больше в меньше в знакомим детей с кратным сравнением: Во сколько раз меньше/больше? Вводим правило: для того, чтобы узнать во сколько раз одно число больше другого, надо большее: на меньшее.
Вопрос 19. Виды простых задач на сложение и вычитание. Методика обучения решению простых задач на сложение.
В процессе решения простых задач раскрывается смысл термина "задача", формируется ряд умений:
- умение читать задачу (понимать значение слов в ней, выделять главные (опорные) слова;
- умение выделить условие и вопрос задачи, известное и неизвестное (данное и искомое);
- умение устанавливать связь между данными и искомым, выбирать нужное арифметическое действие, обосновывать его выбор;
- умение записывать решение и ответ задачи.
В начальных классах школы рассматриваются различные виды простых задач. Классификацию простых задач можно проводить по разным основаниям. Так в методике под редакцией А.Н. Скаткина предложена классификация задач, где выделяются задачи на нахождение суммы, остатка, разности, произведения, отношения и на деление на равные части. Затем для каждой из этих задач составляются две обратные.
В "Методике преподавания арифметики в начальной школе" авт. А.С.Пчелко, 1953 г. при классификации простых задач выделяются группы задач:
1) задачи на сложение;
2) задачи на вычитание;
3) задачи на умножение;
4) задачи на деление.
В методике под ред. М.А. Бантовой дана классификация, в основу которой положено функциональное назначение простых задач.
Все простые задачи разделены на группы.
I. Задачи, направленные на раскрытие смысла арифметических действий.
При решении задач этой группы дети должны уяснить конкретный смысл каждого из арифметических действий. Эта группа объединяет 5 видов задач.
1. Задачи на нахождение суммы двух чисел.
Пример. Саша поймал 4 рыбки, а Леша 3 рыбки. Сколько всего рыбок поймали дети?
2. Задачи на нахождение остатка.
Пример. В корзине было 10 морковок. 3 морковки отдали кроликам. Сколько морковок осталось в корзине?
3. Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых.
Пример. Тетрадь стоит 2 рубля. Сколько стоят три таких тетради?
4. Задачи на деление на равные части.
Пример. 10 тетрадей раздали 5 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?
5. Задачи на деление по содержанию.
Пример. Мама раздала детям 12 яблок, по 4 яблока каждому. Сколько детей получили яблоки?
II. Задачи, раскрывающие связи между компонентами и результатами арифметических действий.
Решая задачи этой группы, учащиеся усваивают зависимость между компонентами и результатами арифметических действий. В эту группу входят следующие виды задач.
1. Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.
Пример. Миша и Саша поймали 10 жуков. Миша поймал 6 жуков. Сколько жуков поймал Саша?
2. Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.
Пример. У девочки было несколько шаров. Когда она отдала подруге 3 шара, у нее осталось 5 шаров. Сколько шаров было у девочки?
3. Задача на нахождение неизвестного вычитаемого.
Пример. В гараже стояло 8 машин. После того, как несколько машин выехало, в гараже осталось 5 машин. Сколько машин выехало?
4. Задача на нахождение неизвестного множителя.
Пример. Первый множитель 2, второй неизвестен, произведение 8. Найти второй множитель.
5. Задачи на нахождение неизвестного делимого.
Пример. Делитель 2, частное 5. Найти делимое.
6. Задачи на нахождение неизвестного делителя.
Пример. Делимое 12, частное 4. Найти делитель.
III. Задачи, раскрывающие отношения между числами.
При решении задач этой группы раскрываются отношения между числами "быть равными", "быть больше или меньше на столько единиц" или "быть меньше во столько раз".
Тетрадь стоит 3 рубля, альбом стоит 12 рублей. Составим все виды задач этой группы.
Разность:
1. Т.-3 р. Ал.-12 р. На сколько альбом дороже тетради? Вид: разностное сравнение со словами «на сколько больше?»
2. Т.-3 р. Ал.- 12 р. На сколько тетрадь дешевле альбома? Вид: разностное сравнение со словами «на сколько меньше?»
IV. Задачи, раскрывающие связи между величинами
а) цена, количество, стоимость;
б) масса одного предмета, количество предметов, общая масса;
в) скорость, время, расстояние;
г) длина, ширина, площадь прямоугольника и др.
Учитель, сообщает текст задачи, демонстрирует числовые данные и описываемые в задаче действия: «У Ани 5 открыток (показывает и кладет в конверт). Это мы знаем. Мама дала ей еще 1 открытку (показывает и кладет в тот же конверт). Это мы тоже знаем. Сколько открыток всего стало у Ани? Об этом ничего не сказано, это неизвестно. Мы составили задачу.
- Что мы знаем?
- Мы знаем, сколько было открыток у Ани: сначала 5 открыток (на наборном полотне выставляется карточка с цифрой 5) и сколько открыток ей дала мама – 1 открытку (выставляется карточка с цифрой 1).
- Это мы знаем, это – условие задачи.
- Что спрашивается в задаче?
- Сколько открыток всего стало у Ани?
- Это вопрос задачи. В каждой задаче есть условие и есть вопрос.
- После того, как мама дала Ане 1 открытку, у нее стало открыток больше или меньше?
- Какое действие надо выполнить, чтобы решить задачу? (выставляется знак +)
- Сколько марок стало у Ани? (выставляется 5+1=6)
- Мы записали решение задачи. Назовите ответ на вопрос задачи.
- У Ани стало 6 открыток.
- Мы дали ответ на вопрос задачи, значит решили ее.
Вопрос 20. Виды простых задач на сложение и вычитание. Методика обучения решению простых задач на вычитание.
В начальных классах школы рассматриваются различные виды простых задач. Классификацию простых задач можно проводить по разным основаниям. Так в методике под редакцией А.Н. Скаткина предложена классификация задач, где выделяются задачи на нахождение суммы, остатка, разности, произведения, отношения и на деление на равные части. Затем для каждой из этих задач составляются две обратные.