Практическое занятие № 16

Численные методы

Тема: «Решение уравнений с одним неизвестным»

1. Методом дихотомии найти корни уравнения

Решение. Вычислим несколько значений функции : ; ; . Значит один корень этого уравнения лежит в промежутке . Для нахождения локальных экстремумов, приравняем нулю производную . То есть в точках у функции имеются экстремумы. Найдём : Теперь найдём

. Отсюда видно, что у функции один действительный корень, и лежит он в промежутке . Найдём его методом дихотомии, имеем:

	-2	-1.5	-1.375	-1.34	-1.33	-1.325	-1.32	-1.312	-1.25	-1
	-5	-0.875	-0.225	-0.11	-0.003	-0.001	0.013	0.0515	0.297

Итак, методом дихотомии найден корень уравнения равный .

Точность найденного корня определим по формуле

. В нашей задаче: Отсюда

Ответ. Корень уравнения : , точность: .

2. Методом дихотомии найти корни уравнения

Решение. Вычислим несколько значений функции : ; ; . ; . Значит один корень этого уравнения лежит в промежутке , второй – в промежутке .

Найдём первый корень методом дихотомии, имеем:

		1.008	1.0115	1.015	1.03	1.0625	1.125	1.25	1.5
	-1.05	-0.014	0.003	0.02	0.1	0.26	0.611	1.52	4.26	15.45

Методом дихотомии найден первый корень уравнения равный .

Точность найденного корня определим по формуле . В нашей задаче: Отсюда

Найдём второй корень методом дихотомии, имеем:

	-2	-1.5	-1.25	-1.22	-1.2	-1.1875	-1.125	-1
	13.45	2.76	0.265	0.105	-0.08	-0.154	-0.51	-1.05

Методом дихотомии найден второй корень уравнения , равный .

Точность найденного корня определим по формуле . В нашей задаче: Отсюда

Ответ. Корни уравнения : , точность ; , точность .

_____________________________________________________________

3. Методом дихотомии найти корни уравнения Решение. Вычислим несколько значений функции , , , , , , . Значит один корень уравнения лежит в промежутке , второй – в промежутке , и третий корень лежит в промежутке .

Найдём первый корень методом дихотомии, имеем:

	-2	-1.875	-1.86	-1.84	-1.8125	-1.75	-1.5	-1
	-1	-0.09	0.005	0.1	0.3	0.6	1.6

Методом дихотомии найден первый корень уравнения , равный

Точность найденного корня определим по формуле . В нашей задаче: Отсюда

Найдём второй корень методом дихотомии, имеем:

	-1	-0.3125	-0.28	-0.266	-0.258	-0.25
		0.219	0.102	0.045	0.0004	-0.016	-1

Методом дихотомии найден второй корень уравнения , равный

Точность найденного корня определим по формуле . В нашей задаче: Отсюда

Найдём третий корень методом дихотомии, имеем:

		2.0625	2.09	2.1	2.11	2.115	2.12	2. 125	2.25	2.5
	-1	-0.5	-0.2	-0.07	-0.02	0.0009	0.05	0.1	1.39	2.6

Методом дихотомии найден третий корень уравнения , равный

Точность найденного корня определим по формуле . В нашей задаче: Отсюда

Ответ. Корни уравнения , точность ; , точность , , точность .

_____________________________________________________________

4. Используя найденные графическим путём начальные приближения, способом простых итераций вычислить с точностью до 0.01 действительные корни уравнения .

Решение. Для преобразования уравнения к виду

заменяем уравнение эквивалентным ему уравнением где число выбирается так, чтобы функция была малой по абсолютной величине в окрестности точки (например, можно положить ). Построив график функции , видим, что корни данной функции находятся вблизи точек 0, +2 и -2. Имеем: .

4.1. Полагаем т.е. будем вначале искать корень вблизи точки 0: . Отсюда . Значит итерационный процесс будет выглядеть так: . Итерируем:

Итак, один корень найден. Он равен .

4.2. Полагаем т.е. будем искать корень вблизи точки 2: . Отсюда . Значит итерационный процесс будет выглядеть так:

. Итерируем:

Значит, второй корень уравнения будет равен .

4.3. Полагаем т.е. будем искать корень вблизи точки -2: . Отсюда . Значит итерационный процесс будет выглядеть так:

. Итерируем:

Таким образом, третий корень уравнения будет равен .

Ответ. , , .

_____________________________________________________________

5. Используя найденные графическим путём начальные приближения, способом простых итераций вычислить с точностью до 0.01 действительные корни уравнения

Решение. Для преобразования уравнения к виду

заменяем уравнение эквивалентным ему уравнением где число выбирается так, чтобы функция была малой по абсолютной величине в окрестности точки (например, можно положить ). Построив график функции видим, что корень данной функции находится в промежутке . Имеем: .