ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ№5.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.
Таблица основных интегралов
| |
| |
| |
 4а 
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Образец решения варианта
Задание 1: Вычислить интеграл:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Решение:
а) Найдем интеграл, применив свойства неопределенного интеграла и формулы (1) и (2) табличного интегрирования:
Интегралы (б – л) решим методом замены переменной.
б) 
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
в ) 
{для нахождения интеграла применим формулу (12)}
г) 
{для нахождения интеграла применим формулу (4)}
д) 
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
е) 
{для нахождения интеграла применим формулу (5)}
ж) 
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
з) 
{для нахождения интеграла применим формулу (10)}
и) 
{для нахождения интеграла применим формулу (9)}
к) 
{для нахождения интеграла применим формулу (3)}
л) 
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Найдем интегралы (м – н) методом интегрирования по частям,
используя формулу 
(13):
м) 
{для нахождения интеграла применим формулу (6)}
н) 
{второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)}
в итоге получаем 
о) 
.
Под знаком интеграла правильная рациональная дробь. Разложим её на простейшие дроби:
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
Тогда 
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя свойства неопределённого интеграла, получим:
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
п) 
.
Под знаком интеграла неправильная рациональная дробь. Выделим целую часть этой дроби путем деления числителя на знаменатель:
Выделим полный квадрат в знаменателе правильной рациональной дроби:
Возвращаясь к исходному интегралы, получим:
{для нахождения первых трёх интегралов применим формулу (2), для четвёртого – формулу (1), последний интеграл найдем c помощью формулы (7)}
р) 
.
Найдем интеграл используя универсальную тригонометрическую подстановку: 
.
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:
Перейдем к равенству числителей:
.
Отсюда следует, что
Тогда 
.
Интегрируя почленно полученное равенство, получим::
{для нахождения интегралов применим формулу (3)}
с) 
.
Произведем замену: 
Получим: 
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей 
и 
есть 4, поэтому введем следующую замену:
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (3)}
т) 
.
Найдем интеграл, используя формулу тригонометрических преобразований 
Интегрируя почленно полученное равенство и применяя формулу (6), получим:
у) 
{для нахождения интегралов применим формулы (1) и (6)}
;
ф) 
{для нахождения интеграла применим формулу (7)}
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
а) 
| б) 
|
Решение:
а) Несобственный интеграл I рода.
{для нахождения интеграла применим формулу (2)}
- интеграл расходится.
б) Несобственный интеграл II рода.
является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:
{для нахождения интеграла применим формулу (8)}
- интеграл сходится.
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линиями: 
и 
;
б) длину дуги кривой:
,
в) объем тела, полученного вращением фигуры 
, вокруг оси 
.
Решение:
а) Существуют несколько формул для вычисления площадей плоских фигур.
§ Площадь фигуры, заданной в декартовой системе координат, ограниченной линиями 
- сверху, 
- снизу, слева прямой 
, справа прямой 
определяется формулой 
(14);
§ Площадь фигуры, ограниченной кривой заданной параметрически уравнениями
, определяется формулой 
(15);
§ Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, ограниченной кривой 
и лучами 
, 
, определяется формулой: 
(16).
В нашем случае линии, ограничивающие фигуру, заданы в декартовых координатах, поэтому мы будем использовать формулу (14).
Найдем координаты точек пересечения линий:
; 
; 
.
;
б) В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.
§ Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением 
длина дуги находится по формуле 
(17);
§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями 
длина дуги находится по формуле 
(18);
§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением
длина дуги находится по формуле 
(19).
В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу (18).
;
в) Пусть функция 
непрерывна на отрезке . Тогда объём тела, полученного вращением вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу , определяется формулой: 
(20).
Если криволинейная трапеция ограниченна графиком непрерывной функции 
и прямыми 
, 
, 
, то объём тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси 
, по аналогии с формулой (20), равен: 
(21).
В условиях нашей задачи 
, 
, 
.
.
Контрольная работа №7
Вариант 1.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболами: 
и 
;
б) длину дуги кривой: 
от точки с абсциссой 
до точки 
;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной гиперболой 
, осью ОY и прямыми 
и 
.
Контрольная работа №7
Вариант 2.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, заключенной между кривой 
и осью 
;
б) длину дуги кривой 
в пределах от 
до 
;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми 
.
Контрольная работа №7
Вариант 3.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линией 
, осью 
и осью 
;
б) длину дуги кривой 
между точками пересечения её с 
;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
.
Контрольная работа №7
Вариант 4.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной кривой 
и прямыми 
, 
;
б) длину одной арки циклоиды: 
;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой 
, прямой 
и осью .
Контрольная работа №7
Вариант 5.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной гиперболой 
, осью ОХ и прямыми 
и 
;
б) длину дуги одного оборота спирали Архимеда 
;
в) объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной полуэллипсом 
, параболой 
и осью 
.
Контрольная работа №7
Вариант 6.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
и осью 
;
б) длину дуги кривой 
от 
до 
;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямыми 
и 
.
Контрольная работа №7
Вариант 7.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
;
б) длину дуги полукубической параболы 
от начала координат до точки с абсциссой 
;
в) объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной одной волной синусоиды 
и осью .
Контрольная работа №7
Вариант 8.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной параболами: 
и 
;
б) длину дуги полукубической параболы 
от точки 
до точки 
;
в) объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
вокруг оси 
.
Контрольная работа №7
Вариант 9.
Задание 1: Вычислить интегралы:
а) 
| б) 
| в) 
|
г) 
| д) 
| е) 
|
ж) 
| з) 
| и) 
|
к) 
| л) 
| м) 
|
н) 
| о) 
| п) 
|
р) 
| с) 
| т) 
|
у) 
| ф) 
|
Задание 2: Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
а) 
| б) 
|
Задание 3: Вычислить:
а) площадь фигуры, ограниченной кривыми 
, 
;
б) длину дуги кардиоиды 
;
в) объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой 
, прямой 
, 
вокруг оси 
.
Контрольная рабо