Часть 1. Теория вероятностей

Тема 1. Законы распределения непрерывных случайных величин

Задание 1. Автобусы маршрута №15 идут строго по расписанию. Интервал движения 15+2×а минут. Найдите вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее пяти минут.

Задание 2. Время ремонта принтера есть случайная величина, распределенная по показательному закону. Среднее время ремонта одного принтера составляет 10+в дней. А) Найдите плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Б) Определите вероятность того, что на ремонт принтера потребуется не менее 20+а дней.

Задание 3. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от эталона распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно (20+а) мм., а дисперсия 0,36 мм².

Найдите: А) вероятность, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры от (19+а) до (21+а) мм, Б) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм (по абсолютной величине), В) с помощью правила «трех сигм» границы, в которых следует ожидать величину диаметра детали.

Тема 2. Закон больших чисел

Задание 4. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. С помощью неравенства Маркова оцените вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: А) не более 200+а клиентов, Б) более 150+2а клиентов.

Задание 5. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия составляет 0,1×а. Используя неравенство Чебышёва, оцените вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

Часть 2. Математическая статистика

Тема 3. Вариационные ряды и их характеристики

Задание 6.

Выборка X объемом измерений задана таблицей:

где - результаты измерений, - частоты, с которыми встречаются значения , . Значения рассчитываются по формуле .

А) Составьте статистический ряд распределения относительных частот.

Б) Постройте полигон частот и относительных частот.

В) Вычислите выборочное среднее , моду, медиану, выборочную дисперсию , среднее квадратическое отклонение , размах ряда и коэффициент вариации V.

Задание 7. Получены данные о заработной плате работников одного из цехов промышленного предприятия (у.е.): 57, 85, 79, 96, 130, 134, 138, 76, 100+а, 136, 173, 62, 85, 94, 90, 149, 130+2в, 159+а, 157, 170, 64, 60, 52, 55, 54, 80, 100, 123, 88-в, 144, 130, 135, 161, 78, 69, 78, 72, 55, 113, 109, 81+в, 92, 55, 121, 87, 115, 129, 127, 120, 139.

А) Составьте вариационный ряд, статистический ряд частот и относительных частот. Б) Изобразите ряд графически. В) Найдите сред­нюю заработную плату работников цеха. Г) Рассчитайте показатели вариации заработной платы (размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации).

Тема 4. Точечное и интеравальное оценивание

математического ожидания и дисперсии

Задание 8. Годовой объем привлеченных депозитов 10 коммерческих банков составляет а+ 0,6; а+0,4; а+0,5; а; а+0,3; а+0,2; а+1,2; а+1; а+1,1; а+0,7 (усл.ед.). В предположении, что годовой объем привлеченных депозитов банков распределен по нормальному закону:

А) найдите точечные оценки среднего объема привлеченных депозитов и генеральной дисперсии,

Б) постройте доверительный интервал для среднего объема привлеченных депозитов с надежностью 95%.

Задание 9. Для анализа производительности труда были отобраны: А) (18 + а) работников, Б) (200 - в) работников некоторого предприятия. На основании проведенных испытаний была получена оценка дисперсии s² = 400 (изд/ч)². Предполагая, что производительность труда работников подчинена нормальному закону распределения, определите с надежностью 95% границы доверительного интервала для генеральной дисперсии s²_ген.

Тема 5. Типы статистических гипотез

Задание 10. Реклама утверждает, что из двух типов пластиковых карт А и В состоятельные люди предпочитают первый. С целью проверки этого утверждения были обследованы среднемесячные платежи 17+а обладателей карт А и 26-в обладателей карт В. Выяснилось, что платежи по картам А составляют в среднем 563 усл.ден.ед. с исправленным средним квадратическим отклонением 170+а усл.ден.ед., а по картам В - в среднем 485 усл.ден.ед. с исправленным средним квадратическим отклонением 195-в усл.ден.ед. Предварительный анализ законов распределения месячных расходов как среди обладателей карт А, так и среди обладателей карт В показал, что они достаточно хорошо описываются нормальным приближением. Проверьте утверждение рекламы на уровне значимости 5%.

Задание 11. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств на 100 малых предприятиях региона. С помощью критерия согласия Пирсона проверьте гипотезу о том, что коэффициенты можно описать нормальным законом распределения (уровень значимости a = 0,05).