Лабораторная работа №1
На тему:Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения
Выполнила:
ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2
Принял: преподаватель кафедры
Ли И.Р.
Душанбе-2010
Лабораторная работа № 2
Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения
I Цель работы
Целью работы является:
1. Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения
2. Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения
3. Проверка адекватности полученного датчика
II Теоретические сведения
Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения
При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x1,x2….xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).
Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность y1,y2,..yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения:
|
|
F(y)= P(ksi 
y) (1)
или плотностью вероятности
f(y)=F’(y) (2)
Функции f(y) и F(y) могут быть заданы графически или аналитически.
Для получения случайной величины η с функцией распределения F(y) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1], используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:
- метод обратной функции
- метод отбора или исключения
- метод композиции.
Метод обратной функции
Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования:
η=F-1 ( ζ ) (3)
Где F-1 ( ζ ) - обратная функция по отношению к функции распределения F ( ζ )
F(y)
1
ζ
 |
0 η y
Рис 1 Функция распределения F(ζ)
Действительно, при таком определении случайной величины η имеем:
P(η y)=P{F-1(ζ) y}=P{ ζ F(y) }= F(y) (4)
В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3), второе из неубывающего характера функций F ( ζ ) и F-1 ( ζ ) и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ.
Таким образом, если задана функция распределения F (y), то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.
Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический.
Метод отбора или исключения
Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f(y). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности f(y) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η* и ζ* можно ограничить ступенчатой кривой:
|
|
0, если y<a
g(y)= fmax, если a 
y b (25)
0, если y>b
Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (RND(ζ)) два равномерно-распределенных числа ζ1 и ζ2, по которым определяются равномерные на интервале [a,b] независимые величины:
η ’ =a + (b-a)*ζ1
ζ’=fmax* ζ2 (26)
Где a,b – границы возможных значений случайной величины η,
fmax - максимальное значение функции f(y) (Рис.7)
f(y) 
g(y)
 |
fmax
F(y)
ζ 
 |
a η ’ b
Рис.7 Заданная плотность вероятности
Если ζ’ f (η ’), то η ’ принимается в качестве очередной реализации случайной величины η. В противном случае η ’ отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ1 и ζ2. Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.
Метод композиции
Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности f η (x) по формуле полной вероятности:
fη (x)= 
(27)
Где H(z)=P(ζ 
z)– интегральная функция распределения случайной величины ζ;
|
|
P(x/z)- условная плотность вероятности.
Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем
fη (x)= 
Pj*fj (x) (28)
где Pj=1 (29)
fj (x) -условная плотность вероятности
Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой fη (x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей gj (i=1,k), с площадями Pj (j=1,k), (Рис.8)
Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке
fη (x)
 |
g1 (Р1)
g2 (Р2) g3 (Р3)
x
 |
g1 (Р1) 
x
Рис. 9 Условные плотности
Вероятности
 |
g2 (Р2)
 |
x
|
g3 (Р3)
 | ||
 |
x
Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9)
Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности.