Что такое однородная система линейных уравнений?

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

 

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A' Строки и столбцы поменялись местами

Свойства операций над матрицами

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(A')'=A

(λA)'=λ(A)'

(A+B)'=A'+B'

(AB)'=B'A'

Виды матриц

Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

Квадратные: m=n

Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

Матрица столбец: n=1.

Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j.

Единичная матрица: m=n

Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n

Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

4)Обратная матрица:

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка Замечание

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°

2°

3°

4°

5)Ранг матрицы и его свойства:

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров.

Свойства:

Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительном числу.

Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел и т.е. .

Для квадратной матрицы -го порядка только тогда, когда матрица невырожденная.

В случае квадратной матрицы если то определитель матрицы равен нулю.

 

|Вопрос 7| Теорема Кронекера Капелли

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когдаранг матрицысистемы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x1 + x2 + … + xn

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A = ~ RgA=2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 не равно 0; RgA = 2;

A* = RgA*=2.
Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

 

|Вопрос 8 |Система линейных однородных уравнений

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений:

Пример 1

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ:

Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.).

 

|Вопрос 9| Векторы.Линейные операции над векторами.Проекция вектора на ось.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Скалярные и векторные величины

Из курса элементарной физики известно, что некоторые физические величины, такие как температура, объем, масса тела, плотность и т.д., определяются только числовым значением. Такие величины называются скалярными величинами, или скалярами.

Для определения же некоторых других величин, таких как сила, скорость, ускорение и тому подобных, кроме числовых значений необходимо задать еще и их направление в пространстве. Величины, которые кроме абсолютной величины характеризуются еще и направлением, называются векторными.

Определение: Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Если начало вектора совпадает с точкой А, а конец с точкой В, то вектор обозначается АВ. Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней а. К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается О.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем.

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1)коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.

Определение: Система векторовназывается линейно зависимой, если существуют такие постоянные, среди которых есть хотя бы одна отличная от нуля, и для которых выполняется равенство .

Определение: Базисом в пространстве называются произвольные три некомпланарных вектора, которые взяты в определенной последовательности.

Определение: Если - базис и вектор , то числа называются координатами вектора в данном базисе.

Координаты вектора будем писать в фигурных скобках после обозначения вектора. Так, например, означает, что вектор в некотором выбранном базисе имеет разложение: .

Из свойств умножения вектора на число и сложения векторов вытекает утверждение относительно линейных действий над векторами, которые заданы координатами.

Для того, чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, необходимо из соответствующей координаты его конца отнять координату начала.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим их.

Определение: Произведением вектора на число m называется вектор, совпадающий по направлению с вектором, если m>0, имеющий противоположное направление, если отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора на модуль числа.

Пример: Построить вектор b=ma, если m=2 и m=-0.5.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Определение: Суммой двух векторов называется вектор, который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы

Итак, для того чтобы построить вектор суммы, надо к концу первого вектора пристроить начало второго, к концу второго пристроить начало третьего и так далее. Тогда вектором суммы и будет вектор, который соединяет начало первого из векторов с концом последнего.

При сложении векторов складываются и их соответствующие координаты

Действительно, если и ,

то

Если векторы и не компланарны, то их сумма является диагональю параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2.6)

,

где

Свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность по отношению к умножению на число

.

Т.е. векторную сумму можно преобразовывать по тем же правилам, что и алгебраическую.

Определение: Разностью двух векторов и называют такой вектор, который при сложении с вектором дает вектор. Т.е. если . Геометрически представляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом и направленную из конца вектора в конец вектора (рис. 2.7).

 

Проекция вектора на ось. Свойства проекций

Вспомним понятие числовой оси. Числовой осью называют прямую, на которой определено:

направление (→);

начало отсчета (точка О);

отрезок, который принимают за единицу масштаба.

Пусть имеется вектор и ось . Из точек А и В опустим перпендикуляры на ось. Получим точки а и b - проекции точек и (рис. 2.8 а).

Определение: Проекцией вектора на ось называется длина отрезкаab этой оси, который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора на ось. Она берется со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Обозначение: .

Определение: Углом между вектором и осью называется угол , на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора.

Найдем :

На рис.2.8 а представлена: .

На рис. 2.8 б): .

Проекция вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью проекций: .

Свойства проекций:

равные векторы имеют равные проекции;

при умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на то же число;

проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов, см. рис. 2.9.

Если , то векторы называются ортогональными

Пример. Заданы векторы , . Тогда.

Пример: Если начало вектора находится в точке , а конец в точке , то вектор имеет координаты: .

Определение: Углом между двумя векторами и называется наименьший угол (рис. 2.13) между этими векторами, сведенными в общее начало .

Угол между векторами и символически записывают таким образом: .

Из определения следует, что угол между векторами может изменяться в пределах .

Если , то векторы называются ортогональными.

.

Определение: Косинусы углов вектора с осями координат называются направляющими косинусами вектора. Если вектор образует с осями координат углы

,

откуда

.

 

 

10)Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, разложение векторов по базису.

 

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

 

Свойства:

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Базис в векторном пространстве — это упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства разложим по ней. Справедливы следующие утверждения: В трехмерном пространстве V₃ любая тройка некомпланарных векторов образует базис. В двумерном пространстве V₂ любая пара неколлинеарных векторов образует базис

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁,..., a_n, необходимо найти коэффициенты x₁,..., x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁,..., a_n равна вектору b:

x₁a₁ +... + x_na_n = b,

при этом коэффициенты x₁,..., x_n, называются координатами вектора b в базисе a₁,..., a_n.

при сложении векторов их координаты складываются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

11)Прямоугольная система координат, координаты точки и вектора. Длина вектора, направляющие косинусы вектора.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX,OY OZ {\displaystyle OX}JJJ naaJJJJ {\displaystyle OZ}. Оси координат пересекаются в точке {\displaystyle O}O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. {\displaystyle OX}OX — ось абсцисс, {\displaystyle OY}OY — ось ординат, {\displaystyle OZ}OZ — ось аппликат.

 

Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы i⃗, j⃗ и k⃗, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде OA=x⋅i⃗ +y⋅j⃗ +z⋅k⃗.

Коэффициенты x, y и z определяются одним единственным образом и называются координатами вектора.

 

Записываются так: OA{x;y;z}.

Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:

 

- координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:

a⃗ {x1;y1;z1}, b⃗ {x2;y2;z2}, a⃗ +b⃗ {x1+x2;y1+y2;z1+z2}

 

- координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a⃗ −b⃗ {x1−x2;y1−y2;z1−z2}

 

- координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:

n⋅a⃗ {n⋅x1;n⋅y1;n⋅z1}

 

- длину вектора:

|a⃗ |=sqrt x21+y21+z21

 

- координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точки вектора:

A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB), AB{xB−xA;yB−yA;zB−zA}

 

- расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:

AB=|AB|=sqrt (xB−xA)^2+(yB−yA)^2+(zB−zA)^2

 

- координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точки отрезка:

xC=(xA+xB)/2;yC=(yA+yB)/2;zC=(zA+zB)/2

 

{\displaystyle A(x,\;y,\;z)}

Длина вектора:

формула длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

длина вектора в пространстве равна .

 

 

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула трехмерного пространства имеет вид .

Формулы вычисления направляющих косинусов вектора

Формула вычисления направляющих косинусов вектора для плоских задач

cos α =	ax	;	cos β =	ay
|a|	|a|

Свойство:

cos² α + cos² β = 1

12)Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов

⟨a⃗,b⃗ ⟩=∣a⃗ ∣⋅∣b⃗ ∣⋅cosφ,

Φ- величина угла между векторами

свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого действительного числа

1. ⟨a⃗,b⃗ ⟩=⟨b⃗,a⃗ ⟩

2. ⟨a⃗ +b⃗,c⃗ ⟩=⟨a⃗,c⃗ ⟩+⟨b⃗,c⃗ ⟩

3. ⟨λ⋅a⃗,b⃗ ⟩=λ⋅⟨a⃗,b⃗ ⟩

4. ⟨a⃗,b⃗ ⟩⩾0

5 ⟨a⃗ +b⃗,c⃗ ⟩=⟨a⃗,c⃗ ⟩+⟨b⃗,c⃗ ⟩

Проекция:

ПР b A=A*B/|B|

Cos(A,B)=A*B/|A||B|

A*B=x1*x2+y1*y2+z1*z2

|A|=sqrt x1^2+y1^2+z1^2

13)Векторное произведение векторов и его свойства:

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c

Формулы

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
ax	ay	az
bx	by	bz

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:S_парал = [a × b]

Геометрический смысл векторного произведения. Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =		|a × b|

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.

Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.

a × b = -b × a

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

(a + b) × c = a × c + b × c

14)Смешанное произведение векторов и его свойства. Условие компланарности трех векторов.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
bx	by	bz
cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения векторов

Геометрический смысл смешанного произведения.

Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами: V_парал = |a · [b × c]|

Геометрический смысл смешанного произведения.

Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:

Vпир =		|a · [b × c]|

Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

 

15)Деление отреза в заданном направлении.

Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости

Если известны две точки плоскости , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:

Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве

Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок в отношении , выражаются формулами:
.

Формулы координат середины отрезка

16)Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Виды:

1.y=kx+b, k=tga

2.y-y0=k(x-x0), k=tga-уравнение прямой,проходящей через точку М с заданным угловым коэффициентом к

3.Ax+By+C=0, A^2+B^2 не равно 0- уравнение вектора нормали прямой N=(A,B)

4.A(x-x0)+B(y-y0)=0-уравнение прямой проходящей через точку М с заданным вектором нормали N=(A,B)

5.x-x0/m=y-y0/n, m^2+n^2 не равно 0-каноническое уравнение прямой (направляющий вектор S=(m,n), M(x0,y0))

6.x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1-уравнение прямой,проходящей через две различные точки M(x1;y1) u M(x2;y2)

Угол между двумя прямыми l1:y=k1x+b1 и l2:k2y=b2 определяется по формуле:

Tga=+-(k2-k1)/1+k1*k2>=0