Для проверочного расчета статической и усталостной прочности ступенчатого вала составим его расчетную схему.
Расчетная схема вала.
Геометрические параметры вала определим на основании чертежа:
а = 75 мм; b = 42 мм; с = 42 мм.
Рассмотрим внешние силы, нагружающие быстроходный вал редуктора.
Со стороны муфты от электродвигателя на вал действует крутящий момент Т1 и поперечная сила Fr; со стороны зацепления окружная сила FT и поперечная R0:
FT = 2T1 / d1 = 2 · 34,43 · 103 / 62 = 1111 Н
R0 = FT · tgα = 1111 · tg 20° = 404 Н
Fr = (0,1 – 0,3)Ft ,
где Ft – окружное усилие, действующее на зубья муфты.
Ft = 2T1 / dМ = 2 · 34,43 · 103 / 60 = 1148 Н
Принимаем Fr = 344,4 Н
Рассмотрим плоскость YOZ:
ΣМАу = 0; -RBy · (c+b) – R0 · b + Fr · a = 0
RBy = (Fr · a – R0 · b) / (c+b) = (344,4 · 75 – 404 · 42) / 84 = 105,6 H
ΣМBу = 0; RAy · (c+b) + R0 · c + Fr · (a + b + c) = 0
RAy = (-Fr · (a + b + c) – R0 · c) / (c+b) = (-344,4 · 159 – 404 · 42) / 84 = - 854 H
Проверка:
ΣFу = 0; -Fr - RAy – R0 - RBy = -344,4 + 854 – 404 – 105,6 = 0
Построение эпюры Му:
Участок 0 ≤ z ≤ a, a = 0,075 м.
Му = - Fr · z
Му(0) = 0
Му(0,075) = -344,4 · 0,075 = -25,8 Н · м
Участок a ≤ z ≤ a + b, a = 0,075 м, b = 0,042 м.
Му = - Fr · z - RAy · (z – a)
Му(0,075) = - Fr · z = -344,4 · 0,075 = -25,8 Н · м
Му(0,117) = -344,4 · 0,117 – (- 854) · (0,117 – 0,075) = -4,4 Н · м
Плоскость XOZ.
ΣМАх = 0; -FT · b – RBx (c + b) =0
RBx = - FT · b / (c + b) = -1148 · 42 / 84 = -574 Н
ΣМВх = 0; FT · с + RАx (c + b) =0
RАx = - FT · с / (c + b) = -1148 · 42 / 84 = -574 Н
Проверка:
ΣFx = 0; RАx + RBx + FT = 0
-574 – 574 + 1148 = 0
Построение эпюры Мх.
Участок 0 ≤ z ≤ a, a = 0,075 м.
Мх(0) = 0
Мх(0,075) = 0 – на этом участке нет изгибающих сил.
Участок a ≤ z ≤ a + b, a = 0,075 м, b = 0,042 м.
Мх(0,075) = 0
Мх(0,117) = RАx · b = 574 · 0,042 = 24,1 Н · м
Результирующие реакции опор.
RA = 
= 
= 1029 H
RB = 
= 
= 583,6 H
Построение эпюры Мz.
T1 = 34,43 Н · м
Участок 0 ≤ z ≤ a + b
Mz = - T1 = -34,43 Н · м
Расчет статической прочности вала
На основании эпюр можно сделать следующие выводы.
Опасными сечениями для рассматриваемого вала, которые необходимо проверить на прочность, являются сечения: (z = 0), как наименее жесткое при кручении dВ1 = 38 мм, а также сечения (z = a) и (z = a + b), где действуют наибольшие изгибающие моменты.
В сечении (z = 0) находится еще и шпоночный паз, ослабляющий его жесткость. Сечение (z = a), где действует изгибающий момент:
Ма = 
= 
= 25,8 Н·м
И крутящий момент Мz = 34,43 Н·м, находится в сложном напряженном состоянии и при этом имеет диаметр, незначительно превышающий наименьший. В сечении (z = a + b) изгибающий момент достигает величины:
Ма + b = 
= 
= 24,5 Н·м
Рассчитаем наибольшие напряжения в опасных сечениях.
В сечении (z = 0) нормальные напряжения от осевых сил и изгибающих моментов равны нулю, касательные напряжения τmax определяются крутящим моментом
Мz = 34,43 Н·м и полярным моментом сопротивления сечения Wp цилиндрического конца вала со шпоночным пазом, глубиной t1 = 5 мм.
Wp = 
- 
= 
- 
= 10052 мм3
Тогда наибольшие касательные напряжения:
τmax = Мz / Wp = 34,43 / 10052 · 10-9 = 3,4 МПа,
а условие прочности вала в сечении (z = 0):
τmax = 3,4 МПа ≤ [τ]k = 44 МПа
выполняется.
В сечении (z = a) наибольшие нормальные напряжения определяются величиной изгибающего момента Ма = 25,8 Н·м и моментом сопротивления сечения вала.
Wa = 
= 
= 12266 мм3
σmax = Ма / Wa = 25,8 / 12266 · 10-9 = 2,1 МПа,
а наибольшие касательные напряжения этого сечения с полярным моментом:
Wp = 
= 
= 24532 мм3, равны:
τmax = Мz / Wp = 34,43 / 24532 · 10-9 = 1,4 МПа
В качестве допустимых напряжений на изгиб примем:
[σ] = 0,8 · σT = 0,8 · 440 = 352 МПа
При этом условие статической прочности по приведенным напряжениям выполняется.
σпр = 
= 
= 3,2 МПа ≤ [σ] = 352 МПа,
В сечении (z = a + b) рассчитаем аналогично, с учетом того, что наибольшие нормальные напряжения определяются величиной изгибающего момента
Ма + b = 24,5 Н·м и моментом сопротивления сечения вала (с диаметром шестерни по впадинам):
Wa = 
= 
= 20670 мм3
σmax = Ма + b / Wa = 24,5 / 20670 · 10-9 = 1,2 МПа
Wp = 
= 
= 41340 мм3
τmax = Мz / Wp = 34,43 / 41340 · 10-9 = 0,8 МПа
Условие статической прочности по приведенным напряжениям выполняется.
σпр = 
= 
= 1,8 МПа ≤ [σ] = 352 МПа,