Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, акции частных фирм, векселя и т.п. Ценная бумага удостоверяет возможность получения некоторого дохода. В общем случае владелец получит некоторый случайный доход. Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и рискованность. Эффективность E есть некоторый обобщенный показатель дохода или прибыли. Будем считать E случайной величиной, ее математическое ожидание есть m_Е. При исследовании финансового рынка дисперсию обычно называют вариацией V и рискованность обычно отождествляется со Средним Квадратическим Отклонением. Таким образом, V=D[E]= M[(E- m_Е)² ] и s = .

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг.

Пусть x_i - доля капитала, потраченная на закупку ценных бумаг i-го вида. Пусть E_i - эффективность (можно считать, доход за некоторый период времени) ценных бумаг i-го вида, стоящих одну денежную единицу. Через V_ij будем обозначать ковариацию ценных бумаг i-го и j -го видов (или корреляционный момент K_ij). Пусть m_i - математическое ожидание эффективности E_i и s_i = , где V_ii - вариация или дисперсия этой эффективности E_i. Рискованность ценной бумаги i-го вида отождествим со средним квадратическим отклонением s_i.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Эффективность портфеля (в простейшем случае это доход, приносимый ценными бумагами портфеля за какой-нибудь промежуток времени), вообще говоря, есть случайная величина, обозначим ее через E_p, тогда ожидаемое значение этой эффективности m_p =M[E_p]= . Дисперсия портфеля есть D[E_p ]= . Величина может быть названа риском портфеля. Обычно D[E_p] обозначается V_p. Итак, мы выразили эффективность и риск портфеля через эффективности составляющих его ценных бумаг и их ковариации. Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку "нельзя поймать двух зайцев сразу", необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском. Математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля такова: найти x_i, минимизирующие вариацию эффективности портфеля V_p = , при условии, что обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля m_p, т.е. m_p = . поскольку x_i - доли, то в сумме они должны составлять единицу: =1. Решение (оптимальное) этой задачи обозначим *. Если x^*_i >0, то это означает рекомендацию вложить долю x^*_i наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же x^*_i <0, то содержательно это означает провести операцию "short sale". Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения x_i ³ 0. Что такое операция "short sale"?

Если x^*_i < 0, то инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они бы принесли их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. На эти деньги он покупает более доходные ценные бумаги и получает по ним доход и оказывается в выигрыше! Если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть m₀ - эффективность безрисковых бумаг, а x₀ - доля капитала в них вложенного. Пусть m_r - средняя ожидаемая эффективность и V_r, s_r - вариация (дисперсия), СКО эффективности рисковой части портфеля, в рисковую часть портфеля вложено (1-x₀) часть всего капитала. Тогда ожидаемая эффективность всего портфеля m_p =x₀ m₀ +(1-x₀)m_r, вариация портфеля V_p =(1-x₀)² V_r и риск портфеля s_p =(1-x₀) s_r (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая x₀, получим m_p = m₀ +s_p (m -m₀)/ s_r, т.е. ожидаемая эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Рассмотрим задачу об оптимальном портфеле в этом случае. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до n. x₀ m₀ + = m_p x₀ + =1

Изложим теперь окончательное решение этой задачи.

Пусть V - матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X=(x_i), M=(m_i) - векторы-столбцы долей x_i капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i=1,.., n. Пусть также I - n-мерный вектор-столбец, компоненты которого есть 1. Тогда оптимальное значение долей x_i есть

.

Здесь V^-1 - матрица, обратная к V. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (верхний индекс ^Т означает транспонирование вектора-столбца), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V^-1(M-m₀I) - вектор-столбец размерности n. Видно, что этот вектор не зависит от эффективности портфеля m_p. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг пропорциональный этому вектору также не зависит от m_p. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от m_p. Однако сумма компонент вектора X^* зависит от m_p, именно, компоненты вектора X^* пропорционально увеличиваются с ростом m_p, поэтому доля x₀ безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Необходимо сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 9 и рисками 8 и 10. Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции "short sale" и с какими ценными бумагами?

Решение. Итак, m₀ =2, M= 4, V= 64 0. Зададимся эффективностью портфеля m_p.

9 0 100

Теперь надо найти обратную матрицу к матрице V. Это просто: V^-1 = 1/64 0.

0 1/100

Вычислим знаменатель:

V^-1 (M– m₀I) = 1/64 0 2 = 1/32

0 1/100 7 7/100

(M– m₀I)^T V^-1 (M– m₀I) =(2 7)* 1/32 = 2/32+49/100=221/400

7/100

Итак, вектор долей рисковых бумаг есть X^* =(400(m_р-2)/221) 1/32

7/100.

Таким образом, каждая из рисковых долей будет равна x^*₁ =25(m_р-2)/442 и x^*₂ =56(m_р-2)/442. Следовательно, x^*₀ =1-81(m_р-2)/442= (604- 81m_р)/442. Понятно, что необходимость в операции "short sale" возникнет, если x^*₀ < 0, т.е. когда (604- 81m_р)/442< 0; 604- 81m_р< 0; m_р > 7,46.

Риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности при наличии безрисковых бумаг равен , где

Таким образом, d =√221/400 = 37/50, а риск r = 50 (m_р-2)/37