Перечень вопросов (заданий), подлежащих разработке
| № | Название вопроса (задания), номер варианта |
| Выполнить следующие задания согласно своего варианта: | |
| 1. | Задание 1. Решить систему уравнений методом Ньютона |
| 2. | Задание 2. По данным значениям X и Y найти прямую и параболу методом |
| наименьших квадратов. | |
| 3. | Задание 3. Найти значения функции используя интерполяционнные формулы |
| Ньютона. Найти значения функции в заданных точках с помощью интерполяционного | |
| многочлена Лагранжа | |
| 4. | Задание 4.Решить краевую задачу методом прогонки. |
| 5. | Задание 5.Решить задачу Коши методом Эйлера. |
| 6. | Задание 6. Решение систем нелинейных уравнений методом скорейшего спуска. |
| 7. | Список использованных источников |
| Преподаватель | ||||
| доцент, к.т.н. | /И.В. Лавреньтев/ | |||
| должность, ученая степень, уч. звание | подпись, дата | Инициалы Фамилия |
| Задание принял к исполнению: | /С.В. Маслову/ | ||
| подпись, дата | Инициалы Фамилия |
ЛИСТ ЗАМЕЧАНИЙ
| № п/п | Замечание | Дата | Подпись преподавателя |
РЕФЕРАТ
Контрольная работа состоит из пояснительной записки, выполненной в текстовом редакторе Microsoft Office Word 2010, на 29 страницах машинописного текста, включая 17 иллюстраций,1 таблицу и 8 литературных источников. Рисунки выполнены в графическом редакторе Paint.NET (при наличии). Чертежи выполнены в графическом редакторе КОМПАС-3D V13 SP1 (при наличии).
Целью контрольной работы является изучение и применение некоторых численных методов.
Задачамиработыявляются:
В первом вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты)решение системы уравнений методом Ньютона
Во втором вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты)способ построения линейного и параболического уравнения по данным значениям X и Y методом наименьших квадратов.
В третьем вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты) метод нахождения значения функции с использованием интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа
В четвертом вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты) способ решения краевой задачи методом прогонки.
В пятом вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты) способ решения задачи Коши методом Эйлера.
В третьем вопросе (задании) рассматривается (приводятся расчеты) решение систем нелинейных уравнений методом скорейшего спуска.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задание 1. Решить систему уравнений методом Ньютона. 7
Задание 2. По данным значениям X и Y найти прямую и параболу методом наименьших квадратов. 12
Задание 3. Найти значения функции используя интерполяционные формулы Ньютона. Найти значения функции в заданных точках с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. 14
Задание 4. Решить краевую задачу методом прогонки. 16
Задание 5. Решить задачу Коши методом Эйлера. 19
Задание 6. Решение систем нелинейных уравнений методом скорейшего спуска. 21
Список использованных источников. 28
Задание 1. Решить систему уравнений методом Ньютона
Решить систему методом Ньютона с точностью 
.
Таблица 1 – Исходные данные к заданию 1
Отделим корни графически
Рис. 1 Графическое решение системы
Из рис. 1 видно что система имеет дварешения. Уточнимпервый корень, приняв в качестве начального приближения значения x0 = 0.5; y0 = 0
f1(x,y) = sin(x+y)-1,1x+0,1
= cos(x+y)-1,1
= cos(x+y)
f2(x,y) = x^2+y^2-1
= 2x
= 2y
Таблица 2 – Поиск решения
| f1 | f1ʹy | f1ʹx | f1 | f1ʹx | f1ʹy | |||||
| x | y | f2 | f2ʹy | f2ʹx | f2 | f2ʹx | f2ʹy | Ak | Bk | Jk |
| 0,6 | 0,004642 | 0,825336 | -0,27466 | 0,004642 | -0,27466 | 0,825336 | 0,528215 | 0,170214 | -0,9904 | |
| -0,64 | 1,2 | -0,64 | 1,2 | |||||||
| 1,133333 | 0,171864 | -0,18173 | 0,262488 | -0,83751 | -0,18173 | -0,83751 | 0,262488 | -0,14488 | 0,148961 | -0,88285 |
| 0,313982 | 0,343727 | 2,266667 | 0,313982 | 2,266667 | 0,343727 | |||||
| 0,969225 | 0,340591 | -1E-05 | 0,258027 | -0,84197 | -1E-05 | -0,84197 | 0,258027 | -0,0143 | -0,04663 | -1,07371 |
| 0,0554 | 0,681183 | 1,938451 | 0,0554 | 1,938451 | 0,681183 | |||||
| 0,955905 | 0,297166 | -0,00155 | 0,312406 | -0,78759 | -0,00155 | -0,78759 | 0,312406 | -0,00156 | 0,001333 | -1,06535 |
| 0,002063 | 0,594333 | 1,911811 | 0,002063 | 1,911811 | 0,594333 | |||||
| 0,954437 | 0,298418 | -2,2E-08 | 0,312612 | -0,78739 | -2,2E-08 | -0,78739 | 0,312612 | -1,2E-06 | -2,9E-06 | -1,06668 |
| 3,72E-06 | 0,596835 | 1,908875 | 3,72E-06 | 1,908875 | 0,596835 |
Получили x = 0,954 y = 0,298
Уточним второй корень, приняв в качестве начального приближения значения x0 = -0.5; y0 = -0.5
| f1 | f1ʹy | f1ʹx | f1 | f1ʹx | f1ʹy | |||||
| x | y | f2 | f2ʹy | f2ʹx | f2 | f2ʹx | f2ʹy | Ak | Bk | Jk |
| -0,5 | -0,5 | -0,19147 | 0,540302 | -0,5597 | -0,19147 | -0,5597 | 0,540302 | 0,461622 | 0,088378 | 1,1 |
| -0,5 | -1 | -1 | -0,5 | -1 | -1 | |||||
| -0,91966 | -0,58034 | 0,114127 | 0,070737 | -1,02926 | 0,114127 | -1,02926 | 0,070737 | -0,14538 | 0,022006 | 1,32476 |
| 0,182567 | -1,16069 | -1,83931 | 0,182567 | -1,83931 | -1,16069 | |||||
| -0,80992 | -0,59696 | 0,004313 | 0,163192 | -0,93681 | 0,004313 | -0,93681 | 0,163192 | -0,00716 | -0,00455 | 1,382808 |
| 0,012319 | -1,19391 | -1,61983 | 0,012319 | -1,61983 | -1,19391 | |||||
| -0,80474 | -0,59366 | 3,54E-05 | 0,171544 | -0,92846 | 3,54E-05 | -0,92846 | 0,171544 | -4,8E-05 | 2,2E-05 | 1,378474 |
| 3,77E-05 | -1,18732 | -1,60948 | 3,77E-05 | -1,60948 | -1,18732 | |||||
| -0,8047 | -0,59368 | 1,82E-10 | 0,171563 | -0,92844 | 1,82E-10 | -0,92844 | 0,171563 | -4,7E-10 | -1,1E-09 | 1,378499 |
| 1,49E-09 | -1,18736 | -1,60941 | 1,49E-09 | -1,60941 | -1,18736 |
Получили x = -0,8047 y = -0,594