№7
Таблица 2 – Исходные данные к заданию 2
| N | X | Y |
| 0,15 | -3,59 | |
| 0,35 | -2,93 | |
| 0,47 | -3,38 | |
| 0,68 | -3,16 | |
| 1,10 | -3,73 | |
| 1,36 | -4,36 | |
| 2,32 | 4,14 | |
| 4,59 | -5,41 | |
| 4,60 | -5,56 | |
| 6,17 | -6,64 | |
| И | 8,16 | -7,30 |
| 8,54 | -7,90 | |
| 8,93 | -8,19 | |
| 9,42 | -7,97 |
Линейное уравнение имеет вид y = bx + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y*x
Для расчета параметров построим расчетную таблицу (табл. 1)
| x | y | x2 | y2 | x*y |
| 0.15 | -3.59 | 0.0225 | 12.8881 | -0.5385 |
| 0.35 | -2.93 | 0.1225 | 8.5849 | -1.0255 |
| 0.47 | -3.38 | 0.2209 | 11.4244 | -1.5886 |
| 0.68 | -3.16 | 0.4624 | 9.9856 | -2.1488 |
| 1.1 | -3.73 | 1.21 | 13.9129 | -4.103 |
| 1.36 | -4.36 | 1.8496 | 19.0096 | -5.9296 |
| 2.32 | 4.14 | 5.3824 | 17.1396 | 9.6048 |
| 4.59 | -5.41 | 21.0681 | 29.2681 | -24.8319 |
| 4.6 | -5.56 | 21.16 | 30.9136 | -25.576 |
| 6.17 | -6.64 | 38.0689 | 44.0896 | -40.9688 |
| 8.16 | -7.3 | 66.5856 | 53.29 | -59.568 |
| 8.54 | -7.9 | 72.9316 | 62.41 | -67.466 |
| 8.93 | -8.19 | 79.7449 | 67.0761 | -73.1367 |
| 9.42 | -7.97 | 88.7364 | 63.5209 | -75.0774 |
| 56.84 | -65.98 | 397.5658 | 443.5134 | -372.354 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
14a + 56.84*b = -65.98
56.84*a + 397.566*b = -372.354
Домножим уравнение (1) системы на (-4.06), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-56.84a -230.77 b = 267.879
56.84*a + 397.566*b = -372.354
Получаем:
166.796*b = -104.475
Откуда b = -0.6264
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
14a + 56.84*b = -65.98
14a + 56.84*(-0.6264) = -65.98
14a = -30.377
a = -2.1698
Получаем коэффициенты уравнения: b = -0.6264, a = -2.1698
Уравнение:
y = -0.6264 x -2.1698
Уравнение имеет вид y = cx2 + bx + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
d IloS4lQICThVhVIBRzdekkC8jmynCX/PcoLjaEYzb4r15DpxxBBbTxrmMwUCqfK2pVrD/uX+4hpE TIas6Tyhhm+MsC5PTwqTWz/SMx53qRZcQjE3GpqU+lzKWDXoTJz5Hom9Dx+cSSxDLW0wI5e7Ti6U WkpnWuKFxvR412D1tRuchjf1PmyXWXzcbDf78PT5Oj54OWp9fjbd3oBIOKW/MPziMzqUzHTwA9ko Og1X84yTGi5XfIn91YL1gXOZUiDLQv4/UP4AAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA 4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA OP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA cZoP0YcCAAAtBQAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAA ACEArjJn+90AAAAIAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAADhBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAE AAQA8wAAAOsFAAAAAA== " adj="247" strokecolor="black [3200]" strokeweight=".5pt"> Система уравнений МНК:
an + b∑x + c∑x2 = ∑y
a∑x + b∑x2 + c∑x3 = ∑yx
a∑x2 + b∑x3 + c∑x4 = ∑yx2
Таблица 5 – Расчетные данные
| x | y | x2 | y2 | x y | x3 | x4 | x2 y |
| 0.15 | -3.59 | 0.0225 | 12.888 | -0.539 | 0.00338 | 0.000506 | -0.0808 |
| 0.35 | -2.93 | 0.123 | 8.585 | -1.026 | 0.0429 | 0.015 | -0.359 |
| 0.47 | -3.38 | 0.221 | 11.424 | -1.589 | 0.104 | 0.0488 | -0.747 |
| 0.68 | -3.16 | 0.462 | 9.986 | -2.149 | 0.314 | 0.214 | -1.461 |
| 1.1 | -3.73 | 1.21 | 13.913 | -4.103 | 1.331 | 1.464 | -4.513 |
| 1.36 | -4.36 | 1.85 | 19.01 | -5.93 | 2.515 | 3.421 | -8.064 |
| 2.32 | 4.14 | 5.382 | 17.14 | 9.605 | 12.487 | 28.97 | 22.283 |
| 4.59 | -5.41 | 21.068 | 29.268 | -24.832 | 96.703 | 443.865 | -113.978 |
| 4.6 | -5.56 | 21.16 | 30.914 | -25.576 | 97.336 | 447.746 | -117.65 |
| 6.17 | -6.64 | 38.069 | 44.09 | -40.969 | 234.885 | 1449.241 | -252.777 |
| 8.16 | -7.3 | 66.586 | 53.29 | -59.568 | 543.338 | 4433.642 | -486.075 |
| 8.54 | -7.9 | 72.932 | 62.41 | -67.466 | 622.836 | 5319.018 | -576.16 |
| 8.93 | -8.19 | 79.745 | 67.076 | -73.137 | 712.122 | 6359.249 | -653.111 |
| 9.42 | -7.97 | 88.736 | 63.521 | -75.077 | 835.897 | 7874.149 | -707.229 |
| 56.84 | -65.98 | 397.566 | 443.513 | -372.354 | 3159.915 | 26361.043 | -2899.922 |
| 4.06 | -4.713 | 28.398 | 31.68 | -26.597 |
Для наших данных система уравнений имеет вид
14a + 56.84b + 397.57c = -65.98
56.84a + 397.57b + 3159.92c = -372.35
397.57a + 3159.92b + 26361.04c = -2899.92
Получаем c = -0.0778, b = 0.0951, a = -2.888
Уравнение регрессии:
y = -0.0778x2+0.0951x-2.888
Задание 3. Найти значения функции используя интерполяционные формулыНьютона. Найти значения функции в заданных точках с помощью интерполяционногомногочлена Лагранжа
1) Заданы значения функции 
в узлах 
, получающиеся делением отрезка 
на 5 частей. Найти значения функции при 
и 
с помощью интерполяционных формул Ньютона.
2)
Таблица 7 – Исходные данные к заданию 3
| xi | yi |
| 1,00 | |
| 1,2 | 2,10 |
| 1,4 | 3,10 |
| 1,6 | 3,80 |
| 1,8 | 5,20 |
| 6,20 |
Таблица 8 – Расчетные данные
| Исходные данные | Таблица конечных разностей | ||||||||
| i | xi | yi | Δyi | Δ2yi | Δ3yi | Δ4yi | Δ5yi | ||
| 1,00 | 1,10 | -0,10 | -0,20 | 1,20 | -3,30 | ||||
| 1,2 | 2,10 | 1,00 | -0,30 | 1,00 | -2,10 | ||||
| 1,4 | 3,10 | 0,70 | 0,70 | -1,10 | |||||
| 1,6 | 3,80 | 1,40 | -0,40 | ||||||
| 1,8 | 5,20 | 1,00 | |||||||
| 6,20 | |||||||||
Ограничимся полиномом третьей степени
t = (1,1-1)/0,2 = 0,5
t = (2,1-2)/2 = 0,5
= 1+1,1*0,5+(-0,1)*0,5*(-0,5)/2+(-0,2)*0,5*(0,5-1)*(0,5-2)/6 = 1,55
= 6,2+1*0,5+(-0,4)*0,5*(0,5+1)/2+(-1,1)*0,5*(0,5+1)*(0,5+2)/6 = 6,206
3) Заданы значения 
функции в точках . Найти значение функции при 
. Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
Таблица 9 – Исходные данные
| 
|
|
Таблица 10 – Расчетные данные
| x1 | x2 | x3 | x4 | Произведение | ||
| x1 | -2 | -3 | -5 | -30 | ||
| x2 | -1 | -3 | ||||
| x3 | -2 | -6 | ||||
| x4 |
Полином Лагранжа
-11/30*(1-2)*(1-3)*(1-5)+10/6*(1-0)*(1-3)*(1-5)-10/6*(1-0)*(1-2)*(1-5)+12/30*(1-0)*(1-2)*(1-3) = 10,4
Задание 4. Решить краевую задачу методом прогонки.
Таблица 11 – Исходные данные к заданию 4
| 
| 
|
Имеем разностную задачу
Aiyi-1 – Ciyi+ Biyi+1 = -Fi, i=1…n-1
y0 = 1 yn = 2
Ai = Bi = 1/h2
h = (2-1)/20 = 0,05
Ci = -1/h2 + 2xi
Fi = cos(xi)
Прямой ход.
a1=0, b1=2,3
Обратный ход.
yn = 0,5
yi = yi+1αi+1 + βi+1
Таблица 12– Расчетные данные
| h | 0,050 | |||||||||
| i | ||||||||||
| xi | 1,05 | 1,10 | 1,15 | 1,20 | 1,25 | 1,30 | 1,35 | 1,40 | 1,45 | |
| Ai | ||||||||||
| Bi | -398,00 | -397,80 | -397,58 | -397,36 | -397,12 | -396,88 | -396,62 | -396,36 | -396,08 | -395,80 |
| Ci | ||||||||||
| Fi | 0,540302 | 0,497571 | 0,453596 | 0,408487 | 0,362358 | 0,315322 | 0,267499 | 0,219007 | 0,169967 | 0,120503 |
| αi | -1,00 | -0,50 | -0,66 | -0,60 | -0,62 | -0,61 | -0,62 | -0,61 | -0,61 | |
| βi | 2,3 | 2,30 | 1,15 | 0,77 | 0,46 | 0,29 | 0,18 | 0,11 | 0,07 | 0,04 |
| yi | 1,424 | 0,882 | 0,546 | 0,339 | 0,210 | 0,130 | 0,081 | 0,050 | 0,031 | 0,020 |
Таблица – Продолжение таблицы 12
| 1,50 | 1,55 | 1,60 | 1,65 | 1,7 | 1,75 | 1,8 | 1,85 | 1,9 | 1,95 | |
| -395,50 | -395,20 | -394,88 | -394,56 | -394,22 | -393,88 | -393,52 | -393,16 | -392,78 | -392,40 | -392,00 |
| 0,070737 | 0,020795 | -0,0292 | -0,07912 | -0,12884 | -0,17825 | -0,2272 | -0,27559 | -0,32329 | -0,37018 | -0,41615 |
| -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 | -0,61 |
| 0,03 | 0,02 | 0,01 | 0,01 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 0,012 | 0,008 | 0,005 | 0,003 | 0,002 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | -0,001 | 0,000 |
Задание 5. Решить задачу Коши методом Эйлера.
Таблица 13 – Исходные данные к задаче 5
| 
| 
|
h=(2-1)/20 = 0,05
Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:
Решение представим в виде таблицы:
Таблица 14 – Расчетные данные
| n | x | y |
| 0,05 | 1,00 | |
| 0,1 | 1,00 | |
| 0,15 | 1,00 | |
| 0,2 | 1,01 | |
| 0,25 | 1,01 | |
| 0,3 | 1,02 | |
| 0,35 | 1,03 | |
| 0,4 | 1,03 | |
| 0,45 | 1,04 | |
| 0,5 | 1,05 | |
| 0,55 | 1,06 | |
| 0,6 | 1,08 | |
| 0,65 | 1,09 | |
| 0,7 | 1,10 | |
| 0,75 | 1,12 | |
| 0,8 | 1,13 | |
| 0,85 | 1,15 | |
| 0,9 | 1,16 | |
| 0,95 | 1,18 | |
| 1,20 | ||
| 1,05 | 1,21 | |
| 1,1 | 1,23 | |
| 1,15 | 1,25 | |
| 1,2 | 1,27 | |
| 1,25 | 1,29 | |
| 1,3 | 1,31 | |
| 1,35 | 1,33 | |
| 1,4 | 1,35 | |
| 1,45 | 1,37 | |
| 1,5 | 1,39 | |
| 1,55 | 1,41 | |
| 1,6 | 1,43 | |
| 1,65 | 1,45 | |
| 1,7 | 1,47 | |
| 1,75 | 1,49 | |
| 1,8 | 1,51 | |
| 1,85 | 1,53 | |
| 1,9 | 1,55 | |
| 1,95 | 1,57 | |
| 1,59 |
Рис. 2 Геометрическая иллюстрация метода Эйлера. На рисунке приведена интегральная кривая y(x) на заданном интервале.