ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ПЛАН ЛЕКЦИИ
I. Поверхности. Касательная плоскость и нормаль
II. Пространственные линии
III. Линия как пересечение двух поверхностей
I. Поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Если уравнение поверхности в пространстве имеет вид , то уравнением касательной плоскости к поверхности в точке служит
(1)
Рассмотрим в пространстве поверхность S, заданную уравнением общего вида
.
Предположим, что функция в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования неявной функции и уравнение определяет z как функцию x и y, то есть , причем, Производные этой функции в точке
, .
Уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
или
. (2)
Определение. Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.
Уравнение нормали к касательной плоскости в точке касания имеет вид
Если поверхность задана уравнением , то уравнение нормали к этой поверхности в точке :
(3)
Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (параболоид) в точке .
Решение. Найдем значение функции в точке : .
Запишем частные производные функции z: и и вычислим их значения в точке : , .
Запишем уравнение касательной плоскости (1)
или после преобразований
.
Уравнение нормали к поверхности в точке М0 запишем, воспользовавшись формулой (3):
.
II. Пространственные линии. Линия, принадлежащая пространству , может быть задана параметрическими уравнениями
(4)
Если все три уравнения линейные, то получаются известные из аналитической геометрии параметрические уравнения прямой . Исключая из этих уравнений параметр t, получим канонические уравнения прямой
|
Касательная к пространственной кривой определяется так же, как и для плоской кривой, то есть как предельное положение секущей, проходящей через данную точку и близкую к ней точку при условии, что стремится слиться с точкой .
Получим уравнение касательной к линии, заданной параметрическими уравнениями (4), в точке линии , соответствующей значению параметра .
Уравнение секущей прямой, проходящей через точки и , будет
.
Делим все знаменатели на D t и переходим к пределу при . Тогда получим искомое уравнение касательной
, (5)
где
Направляющие косинусы касательной в точке выражаются формулами
Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к линии в данной точке. Линия в точке имеет бесконечное множество нормалей. Все они лежат в одной плоскости, перпендикулярной к касательной прямой и проходящей через точку касания.
Определение. Плоскость, перпендикулярная к касательной к кривой в точке касания, называется нормальной плоскостью к кривой в данной точке.
Уравнение нормальной плоскости в точке касания
(6)
III. Линия как пересечение двух поверхностей. Кривая в пространстве может быть задана и как линия пересечения двух поверхностей: .
Геометрически ясно, что касательной к этой линии в точке M0 будет линия пересечения касательных плоскостей к данным поверхностям в этой же точке. Составляя уравнения этих плоскостей в соответствии с соотношением (2),
|
получим уравнение искомой касательной как линии пересечения двух плоскостей. Направляющий вектор этой касательной можно найти, взяв векторное произведение нормальных векторов к обеим плоскостям
и
.
Тогда .
Зная направляющий вектор и точку касания , можно переписать уравнение касательной в каноническом виде, а также составить уравнение нормальной плоскости:
и
где