III. Линия как пересечение двух поверхностей




ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

ПЛАН ЛЕКЦИИ

I. Поверхности. Касательная плоскость и нормаль

II. Пространственные линии

III. Линия как пересечение двух поверхностей

I. Поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Если уравнение поверхности в пространстве имеет вид , то уравнением касательной плоскости к поверхности в точке служит

 

(1)

 

Рассмотрим в пространстве поверхность S, заданную уравнением общего вида

 

.

 

Предположим, что функция в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования неявной функции и уравнение определяет z как функцию x и y, то есть , причем, Производные этой функции в точке

 

, .

 

Уравнение касательной плоскости можно переписать в виде

 

или

. (2)

 

Определение. Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания, называется нормалью к поверхности в этой точке.

 
 

Уравнение нормали к касательной плоскости в точке касания имеет вид

 

 

Если поверхность задана уравнением , то уравнение нормали к этой поверхности в точке :

(3)

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (параболоид) в точке .

Решение. Найдем значение функции в точке : .

Запишем частные производные функции z: и и вычислим их значения в точке : , .

Запишем уравнение касательной плоскости (1)

 

 

или после преобразований

.

 

Уравнение нормали к поверхности в точке М0 запишем, воспользовавшись формулой (3):

.

 

II. Пространственные линии. Линия, принадлежащая пространству , может быть задана параметрическими уравнениями

 

(4)

 

Если все три уравнения линейные, то получаются известные из аналитической геометрии параметрические уравнения прямой . Исключая из этих уравнений параметр t, получим канонические уравнения прямой

Касательная к пространственной кривой определяется так же, как и для плоской кривой, то есть как предельное положение секущей, проходящей через данную точку и близкую к ней точку при условии, что стремится слиться с точкой .

Получим уравнение касательной к линии, заданной параметрическими уравнениями (4), в точке линии , соответствующей значению параметра .

Уравнение секущей прямой, проходящей через точки и , будет

 

.

 

Делим все знаменатели на D t и переходим к пределу при . Тогда получим искомое уравнение касательной

 

, (5)

 

где

Направляющие косинусы касательной в точке выражаются формулами

 

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к линии в данной точке. Линия в точке имеет бесконечное множество нормалей. Все они лежат в одной плоскости, перпендикулярной к касательной прямой и проходящей через точку касания.

Определение. Плоскость, перпендикулярная к касательной к кривой в точке касания, называется нормальной плоскостью к кривой в данной точке.

Уравнение нормальной плоскости в точке касания

 

(6)

 

 
 

III. Линия как пересечение двух поверхностей. Кривая в пространстве может быть задана и как линия пересечения двух поверхностей: .

Геометрически ясно, что касательной к этой линии в точке M0 будет линия пересечения касательных плоскостей к данным поверхностям в этой же точке. Составляя уравнения этих плоскостей в соответствии с соотношением (2),

 

 

получим уравнение искомой касательной как линии пересечения двух плоскостей. Направляющий вектор этой касательной можно найти, взяв векторное произведение нормальных векторов к обеим плоскостям

 

и

.

Тогда .

 

Зная направляющий вектор и точку касания , можно переписать уравнение касательной в каноническом виде, а также составить уравнение нормальной плоскости:

 

и

 

где

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2021-07-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: