Рассмотрим движение груза, жестко зафиксированного на подвесе (металлическом стержне), закрепленном в точке O (см. приложение 1). Система «груз – подвес» в общем случае представляет собой физический маятник. Точку крепления этого маятника условно назовем точкой подвеса.
Опыт показывает, что физический маятник, выведенный из положения равновесия, совершает вращательные колебания. Согласно основному закону динамики вращательного движения произведение момента инерции системы «груз – подвес» на угловое ускорение маятника равно равнодействующему моменту внешних сил: силы тяжести m·g и силы сопротивления Fc (момент силы деформации растяжения тела N равен нулю). Спроецировав это уравнение на направление оси вращения, для случая малых колебаний получим следующее выражение:
I·a" = M + Mc = - k·a - h·a', (1)
где α(t) - угол отклонения колеблющегося груза, отсчитываемый от положения равновесия;
α' и α" - соответственно угловая скорость и угловое ускорение маятника;
k и h - размерные константы;
I - момент инерции системы «груз – подвес»;
М = -m.g.r.sin(α) = -k.sin(α) - момент возвращающей силы (для малых колебаний М = -k.α);
Mc = -h.α' - момент сил сопротивления (выражение справедливо для малых угловых скоростей).[5]
Поделив левую и правую части уравнения (1) на величину I и перенеся все слагаемые в левую часть, получим соотношение, аналогичное выражению, описывающему движение собственных затухающих колебаний груза на пружине.
a" + w02·a + 2b·a' = 0, (2)
где b = h/2I - коэффициент затухания;
w0 = (k/I)1/2 - собственная частота колебаний груза.
Решение уравнения (2) имеет вид:
a(t) = a0·e-bt·sin(w·t + j), (3)
где w = (w02 - b2)1/2 - частота затухающих колебаний груза.
Как видно из уравнения (3) амплитуда углового смещения будет уменьшаться (затухать) с течением времени по экспоненциальному закону. Коэффициент затухания определяет быстроту этого процесса. Он равен промежутку времени по истечении которого, амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Далее рассмотрим уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника.
Пружинным маятником называется система, состоящая из груза массой m и невесомой пружины жесткостью k.
Пусть масса маятника m, коэффициент упругости пружины k, сила сопротивления, действующая на маятник, F = - bv, v - скорость маятника, b - коэффициент сопротивления среды, в которой находится маятник. Так как рассматриваем только линейные системы, b = const, k = const. x - смещение маятника от положения равновесия.
(второй закон Ньютона)
Данное уравнение и есть дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний пружинного маятника. Принято записывать его в следующем, так называемом каноническом виде:
- коэффициент затухания, - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника, то, что раньше мы обозначали просто w.
Уравнение затухающих колебаний в таком (каноническом) виде описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j0.