При исследовании собственных колебаний предполагается отсутствие внешней среды. Наличие среды приводит к появлению диссипативной силы, которая, как мы показали, постепенно уменьшает первоначально переданную системе энергию. Это выражается через уменьшение собственной частоты колебаний ω0, также как постепенным уменьшением амплитуды колебаний.
Примечание: во избежание путаницы нумерация формул останется такой же как в научной литературе.[6]
Пусть на колеблющееся тело действует сила мокрого трения:
,
Уравнение движения частицы примет следующий вид:
, (1.35)
где
. (1.36)
Подставляя последнее в (1.35), получим:
(1.37).
Так как полученное уравнение верно для произвольного момента времени, то выражение в скобках должно быть нулем. Последнее дает для неизвестной величины 
следующее значение
(1.38)
где
, (1.39)
Учитывая (1.38), решение (1.36) примет следующий вид:
, (1.40)
Полученное уравнение движения описывает затухающие колебания, где 
и 
– постоянные, определяемые из начальных условий.
В зависимости от соотношения коэффициента трения 
и частоты собственных колебаний 
, затухающие колебания подразделяются на два класса. Они соответствуют случаям периодического и непериодического затухания.
Периодическое затухание. Оно осуществляется при слабых силах трения:
, (1.41)
когда величина (1.39) действительна. В этом случае решение (1.40) выражается формулой (в действительной форме)
, (1.42)
Графически это колебание представлено на рисунке (см. приложение 2) и является колебанием с постоянной частотой (1.39), но убывающей с течением времени амплитудой. В этом смысле это не только не гармоническое, но даже и не периодическое колебание, поскольку колебания не повторяются в том же виде. Тем не менее, удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под этим промежуток времени
|
|
, (1.43)
Говоря «амплитуда затухающих колебаний» понимают величину
, (1.44)
которая есть максимальное смещение частицы относительно положения равновесия во время колебаний. Из выражения (1.44) следует, что за время , (1.45) амплитуда убывает в 
раз. Этот промежуток времени называется временем затухания, а – декрементом затухания.
Наиболее объективной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декремент, который является отношением периода колебаний (1.43) к времени затухания (1.45)
, (1.46)
Легко заметить, что логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:
, (1.47)
Определим число N колебаний, в течение которых амплитуда колебаний убывает в , раз:
откуда следует, что
, (1.48)
На основании этого соотношения можно экспериментально определить логарифмический декремент затухания 
, считая соответствующее число 
колебаний.
Непериодическое затухание. При сильном трении
(1.49)
величина (1.43) становится мнимой. В этом случае удобно представить (1.42) так:
, (1.50)
, (1.51)
В рассматриваемом случае решение (1.42) примет вид:
, (1.52)
которое не описывает какое-либо колебание, а представляет экспоненциональное убывание смещения от положения равновесия (см. приложение 3). Непериодическое затухание маятника можно наблюдать, если поместить его в сильно вязкую среду (глицерин, мед).
|
|
Специальным случаем непериодического затухания является случай, когда . В этом случае решение уравнения (1.35) выражается в виде:
, (1.53).
Заключение
Целью данной курсовой работы являлось изучение колебаний маятника с различными механизмами затухания. Для реализации поставленной цели предполагалось решение ряда задач, что позволило сделать следующие выводы:
На основании анализа существующей литературы даны определения исходных теоретических положений, а именно: колебания, виды колебаний, маятник (физический маятник, пружинный маятник), декремент затухания, добротность колебательной системы и т.д.
Также, исходя из проработанной литературы, сделан вывод о том, что данная тема изучалась и изучается многими авторами, как зарубежными, так и советскими, и находит практическая применение в различных науках.
Получены уравнения собственных затухающих колебаний на примерах физического и пружинного маятников.
,
где - коэффициент затухания,
- собственная частота свободных (незатухающих) колебаний пружинного маятника.
Таково полученное уравнение собственных затухающих колебаний пружинного маятника. Это уравнение описывает затухающие колебания всех линейных систем; конкретная колебательная система отличается только выражениями для b и j0.
a(t) = a0·e-bt·sin(w·t + j), (3)
где w = (w02 - b2)1/2 - частота затухающих колебаний груза.
Данное уравнение определяет быстроту процесса затухания колебаний физического маятника.
|
|
Определены два механизма затухающих колебаний: периодическое (осуществляется при слабых силах трения) и непериодическое (при сильном трении), а также получены формулы, для их расчета.
- для периодического механизма затухающих колебаний;
, - для непериодического механизма затухающих колебаний.
Список сокращений
г. – год;
пр. – прочее;
с. – страница;
см. – смотреть;
т.д. – так далее;
т.е. – то есть;
Библиографический список литературы
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. - 568 с.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. – 59 с.
3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1994. - 408 с.
4. Владимиров С.Н., Майдановский А.С., Новиков С.С. Нелинейные колебания многочастотных автоколебательных систем. Томск: изд-во Томск. ун-та, 1993. - 203 с.
5. Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. - 124 с.
6. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 2001. - 280 с.
7. Капранов М.В., Кулешев В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1994. - 319 с.
8. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1991. - 360 с.
9. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. - 390 с.
10. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.
11. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1995. - 424 с.
12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1994. - 431 с.
13. Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 597.
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
[1] Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1991. - с. 137.
[2] Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1989. - с. 52.
[3] Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 597.
[4] Горелик Г.С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1989. – с. 82
[5] Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - с. 192.
[6] Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 2002. - с. 149-154.