НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА

Задача

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция , определённая на множестве .

Требуется определить точки её локальных минимумов и максимумов на .

Последовательность решения

Вначале с помощью необходимых условий первого и второго порядка (порядок условий определяется порядком используемых производных) необходимо найти точки , где могут быть локальные экстремумы. Затем в найденных точках проверяется выполнение достаточных условий безусловного экстремума. В точках экстремума вычисляются значения исследуемой функции .

1.1.Необходимые условия экстремума первого порядка

Пусть есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и дифференцируема в точке . Тогда градиент функции в точке равен нулю, т.е.

или (1)

Точки, удовлетворяющие условию (1), называются с тационарными.

1.2. Необходимые условия экстремума второго порядка

Пусть есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве и дважды дифференцируема в точке . Тогда матрица Гессе функции , вычисленная в точке , является положительно (отрицательно) полуопределённой, т.е.

, () (2)

1.3. Достаточные условия экстремума

Функция в точке дважды дифференцируема, её градиент равен нулю (необходимое условие экстремума первого порядка), а матрица Гессе является положительно (отрицательно) определённой:

, , (). (3)

Тогда точка есть точка локального минимума (максимума) функции на множестве .

Определение 1

Рассмотрим определитель матрицы Гессе , вычисленный в стационарной точке

. (4)

Определители

, ,…,

называются угловыми минорами матрицы Гессе.

Определители m –го порядка (), получающиеся из определителя матрицы вычёркиванием каких-либо строк и столбцов с одними и теми же номерами, называются главными минорами.

Проверка достаточных условий экстремума

Достаточные условия экстремума и необходимые условия 2-го порядка могут быть проверены двумя способами.

1-й способ основан на исследовании угловых миноров.

Для того, чтобы матрица Гессе была положительно определённой () необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры этой матрицы были положительны:

, , …, (5)

Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно определённой () необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров этой матрицы чередовались, начиная с минуса:

, , ,…, (6)

Для того, чтобы матрица Гессе была положительно полуопределённой () необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры этой матрицы были неотрицательны.

Для того, чтобы матрица Гессе была отрицательно полуопределённой () необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры чётного порядка этой матрицы были неотрицательны, а все главные миноры нечётного порядка – неположительны.

Определение 2

Составим уравнение

. (7)

Это алгебраическое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Корни этого уравнения называются собственными числами матрицы .

2-й способ основан на проверке собственных чиселматрицы Гессе

Для того, чтобы матрица Гессе была положительно определённой () необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа этой матрицы были положительны:

, , …, (8)

Для того чтобы матрица Гессе была отрицательно определённой () необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа этой матрицы были отрицательны

, , …, (9)

Для того, чтобы матрица Гессе была положительно полуопределённой () необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа этой матрицы были неотрицательны.

Для того, чтобы матрица Гессе была отрицательно полуопределённой () необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа этой матрицы были неположительны.

Алгоритм решения задачи нахождения безусловного экстремума функции отображён на рис.1. На рисунке ромб – означает проверку условия, описанного в этой фигуре, прямоугольник со скруглёнными углами– окончание исследования. В табл.1 приведены все способы проверки условий экстремума.

Пример 1. Найти экстремум функции на множестве .

Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

; (10)

В результате решения системы уравнений (10) Получим одну стационарную точку .

Проверим выполнение достаточных условий экстремума:

1-й способ. Матрица Гессе имеет вид . При этом , . Следовательно, в точке локальный минимум.

2-й способ. Найдём собственные числа матрицы Гессе. Для этого решим уравнение

. Отсюда и . Все собственные числа положительны, следовательно, в исследуемой точке функция имеет локальный минимум. Результаты исследования обоими способами совпадают.

Вычислим значение функции в точке минимума:

Пример 2. Найти экстремум функции на множестве .

Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

; (11)

В результате решения системы уравнений (11) получим одну стационарную точку .

Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

1-й способ. Матрица Гессе имеет вид .

, ,

следовательно, достаточные условия экстремума не выполняются.

Проверяем необходимые условия экстремума второго порядка. Главные миноры первого ()порядка получаются из в результате вычёркивания строк и столбцов с одинаковыми номерами и равны и 2. Главный минор второго порядка () получается из в результате вычёркивания строк и столбцов, т.е совпадает с . Отсюда следует, что необходимые условия второго порядка не выполняются. Т.к. матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод, что в точке нет экстремума.

2-й способ. Найдём собственные значения матрицы Гессе в соответствии с (7) из уравнения

Получим , т.е. собственные значения имеют разные знаки. Поэтому точка не является точкой минимума или максимума.

Функция не имеет экстремумов.

Пример 3. Найти экстремум функции на множестве .

Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

;

В результате решения системы получаем стационарную точку

Матрица Гессе имеет вид . , следовательно, достаточные условия экстремума не выполняются.

Проверяем необходимые условия экстремума второго порядка. Главные миноры первого порядка равны 2 и 0 соответственно. Главный минор второго порядка – 0. Т.к. все главные миноры неотрицательны, то в точке может быть минимум и требуется дополнительное исследование.

Вычислим значение функции в точке : и рассмотрим поведение функции на множестве . При любых , поэтому точка является точкой глобального минимума.

Пример 4. Найти экстремум функции на множестве .

Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

; .

В результате решения системы получаем стационарную точку

Проверим выполнение достаточных условий экстремума первым способом. Матрица Гессе имеет вид

. ,

следовательно, точка является точкой локального минимума. Поскольку , то в точке функция строго выпуклая, поэтому точка - точка глобального минимума. Вычислим значение функции в точке : .

Пример 5. Найти экстремум функции на множестве .

Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

; .

В результате решения системы получаем стационарную точку

Проверим выполнение достаточных условий экстремума первым способом. Матрица Гессе имеет вид . Т.к. , , то в точке локальный минимум. Поскольку , то в точке функция строго выпуклая, поэтому точка - точка глобального минимума. Вычислим значение функции в точке : .