Домашнее задание: 3.4, 3.7, 3.8, 3.10,3.18, 3.21, 3.32, 3.37, 3.39, 3.40
Момент импульса. Моментом импульса материальной точки называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора точки на ее импульс
.
Момент силы равен произведению силы на радиус вектор
,
где 
- радиус-вектор точки приложения силы. Векторы 
и 
перпендикулярны векторам 
и 
, а их направление определяется по правилу правого винта. Модули момента импульса и момента силы определяются по формулам
, 
,
где a - угол между векторами, h - плечо вектора 
или 
.
Момент импульса системы равен сумме моментов импульсов точек
.
Скорость изменения момента импульса системы точек равна сумме моментов всех внешних сил
.
Изменение момента импульса системы равно сумме импульсов моментов всех внешних сил
.
Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе момент импульса сохраняется
.
Момент импульса так же сохраняется, если система находится в поле внешних центральных сил или момент внешних сил скомпенсирован.
Динамика твердого тела. Движение твердого тела в общем случае определяется двумя уравнениями: уравнением движения центра масс и уравнением моментов относительно центра масс
, 
.
Вращение тела вокруг неподвижной оси z описывается уравнением
,
где e - угловое ускорение, I – момент инерции тела, 
- проекция момента сил на ось z.
Момент инерции I точки, системы точек и твердого тела равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси вращения
, 
, 
,
где r - плотность тела.
Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через их центр масс, равны: стержня длиной l: 
, диска радиусом R: 
, тонкого кольца радиусом R: 
, шара радиусом R: 
.
Теорема Штейнера. Момент инерции тела 
относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции 
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями
.
Кинетическая энергия твердого тела складывается из энергии поступательного движения центра масс и энергии вращения относительно центра масс
.
Задача 1. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n 1 = 10 об/мин. Человек массой m 0 = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n 2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой.
Решение. Система «человек - платформа» замкнута, поэтому для нее выполняется закон сохранения момента импульса
, (1)
где 
и 
- моменты инерции платформы с человеком в начальном и конечном положениях, 
и 
- угловые скорости вращения платформы в этих положениях. Напомним, что для вращения вокруг оси момент импульса 
.
Момент инерции системы найдем как сумму моментов инерций ее частей
, 
, (2)
где R – радиус платформы. В центре платформы момент инерции человека равен нулю.
Подставляя (2) в (1) и учитывая, что 
, где n – частота вращения платформы, после преобразований найдем частоту вращения 
платформы
= 22 об/мин.
Скорость платформы увеличивается потому, что уменьшается ее момент инерции. Этот эффект используют фигуристы, акробаты и т.д., группируясь при выполнении кульбитов и поворотов.
Задача 2. Обруч и диск одинаковой массы 
катятся без скольжения с одной и той же скоростью. Кинетическая энергия обруча Ек 1 = 40 Дж. Найти кинетическую энергию Ек 2 диска.
Решение. Кинетическая энергия обруча, как и диска, складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движений
,
где m – масса обруча, v и 
– линейная и угловая скорости, 
– момент инерции обруча, R - радиус обруча. После подстановки и w, получим
. (1)
Аналогично, найдем кинетическую энергию диска
, (2)
где 
– момент инерции диска.
Сравнивая (1) и (2), найдем кинетическую энергию диска
= 30 Дж.
Задача 3. На барабан радиусом R=0,5 м и с горизонтальной осью вращения намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что его угловое ускорение равно 
. Тернием пренебречь.
Дано:
m = 10 кг
R = 0, 5 м
J =?
Решение:
Вращение барабана происходит под действием силы F. Из второго закона Ньютона
ох: ma = mg – F
F = m (g - a)
= ∆ω/∆t = ∆υ/R∆t = a/R → a = εR
F = m (g – ε r)
M = Jε – момент силы через момент инерции для вращающегося тела.
M = Fd = FR – момент силы вращающей барабан.
По закону сохранения момента сил
Jε = FR
Jε = m (g – εR) R
J = (m (g – εR) R)/ ε = 22,5 (кг м²)
Ответ: 22, 5 кг м2
Задача 4. Найти момент импульса Земного шара М3 = 6·1024 кг, R3 = 6,4·10³ км, если точки поверхности Земли вращаются со скоростью 36 км/ ч.
Решение:
L = Jω
J= 0,4 M3R3²- момент инерции шара.
ω = υ/ R
L = 0,4 M3 υ R3= 15,36·10³º кг м²/с.
Ответ: L = 15, 36·10³º кг м²/с