Вывод формулы для комплексной амплитуды на нагрузке U2 через комплексную амплитуду входного напряжения U1.

Расчет классическим методом

1) Определение начальных условий

По схеме цепи до коммутации (Рисунок № 1) определим независимые начальные условия:

Согласно основному закону коммутации:

Ток в катушке:

Напряжение на конденсаторе:

Определение зависимых начальных условий:

Рисунок № 2 -Схема после коммутации

Уравнения по законам Кирхгофа для цепи после коммутации:

Определим токи и напряжение на катушке для цепи в момент сразу после коммутации:

Решая систему, получим:

2) Расчет принужденного режима (t=∞)

Рисунок № 3 -Схема для расчета принужденного режима

3)Определение корней характеристического уравнения

Операторная схема замещения:

Рисунок № 4 -Операторная схема

Корни характеристического уравнения действительные различные - переходный процесс апериодический.

4) Определение напряжения на конденсаторе u_C(t)

4.1)Определим постоянные интегрирования A₁ и A₂:

При

- получили первое уравнение для системы уравнений

4.2) Продифференцируем уравнение для полного напряжения

и подставим в него :

учитывая, что:

мы получим второе уравнение в системе:

Составим и решим систему уравнений:

Полное напряжение на конденсаторе:

Полный ток в конденсаторе:

Расчет операторным методом

1) Независимые начальные условия (найдены ранее):

Ток в катушке:

Напряжение на конденсаторе:

Операторная схема замещения:

Рисунок № 5 - Операторная схема замещения

Определим ток I_С(p)

С помощью метода двух узлов определим ток через конденсатор.

Узловое напряжение:

Изображение искомого тока:

4. С помощью теоремы разложения определим оригинал тока. Решение ищем в следующем виде:

Оригинал тока:

Результаты расчетов операторным и классическим методами совпали.

Определение интервала для построения переходного процесса:

Построим график изменения тока:

Рисунок № 5 -график изменения тока

 

Вариант № 3

Контрольное задание 2

Цепи с периодическими несинусоидальными источниками

Исходные данные

L=5 мГн

С=1 мкФ

Т=0,6 мс

U_m=25 В

R_н=86 Ом

 

Задание:

1. Разложить напряжение U1(t) в ряд Фурье до 5-ой гармоники включительно, используя табличное разложение.

2. Вывести формулу для комплексной амплитуды на нагрузке U2 через комплексную амплитуду входного напряжения U1.

3. Используя формулу п.2 определить комплексную амплитуду на нагрузке для

4. Записать мгновенное значение напряжения на нагрузке u₂=f(ωt) в виде ряда Фурье.

5. Построить друг под другом линейчатые спектры входного u1 и выходного u2 напряжений.всех гармоник.

 

Рисунок 1 Схема электрической цепи

 

Разложение в ряд Фурье

Воспользуемся формулой для разложения сигнала:

Циклическая частота:

Формула примет вид (для гармоник до 5-ой включительно):

График функции при K₁=55 (номер гармоники n= [1:111])

Рисунок 2 - Входное напряжение

График функции при при К1=2 (номер гармоники n=1,3,5)

Рисунок 3 - Входное напряжение n=1,3,5

Вывод формулы для комплексной амплитуды на нагрузке U2 через комплексную амплитуду входного напряжения U1.

 

Определим напряжение U₂ в общем виде для каждой гармоники n:

Эквивалентное сопротивление цепи со стороны входных зажимов:

Токи в цепи:

По правилу разброса токов:

Искомое напряжение: