“Электричество и магнетизм”
· Закон Кулона
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; e - диэлектрическая проницаемость среды; e0 – диэлектрическая постоянная:
· Закон сохранения заряда
где - алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – число зарядов.
• Напряженность электрического поля
Е = F/q,
где F — сила, действующая на точечный положительный заряд q, помещенный в данную точку поля.
• Поток вектора напряженности Е электрического поля:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,
где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция вектора напряженности на нормаль;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,
ФЕ=EScosa.
• Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность
где интегрирование ведется по всей поверхности.
• Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора напряженности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды q1, q2,…, qn,
где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри
замкнутой поверхности; п — число зарядов.
• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда,
• Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r отцентра сферы:
а) внутри сферы (г < R)
Е=0;
б) на поверхности сферы (г = R)
в) вне сферы (г > R)
• Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:
Е= Е1+Е2+…+ Еп.
В случае двух электрических полей с напряженностями Е1 и Е2 модуль вектора напряженности
где а — угол между векторами Е1 и Е2.
• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,
где t — линейная плотность заряда.
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):
• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,
где s — поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:
• Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю поверхностной плотностью s заряда (поле плоского конденсатора)
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.
• Электрическое смещение D связано с напряженностью Е электрического поля соотношением
Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.
• Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного положительного точечного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выражается интегралом по замкнутому контуру где — проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке.
В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:
• Потенциал электрического поля - величина равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду:
j= П/q,
1. или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:
j = A/q.
2. Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.
Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа АВС внешних сил равна по модулю работе АСП сил поля и противоположна ей по знаку:
АВС= - АСП.
• Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии г от заряда,
• Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд q сферой радиусом R, на расстоянии r от центра сферы:
внутри сферы (r < R) ;
на поверхности сферы (r = R) ;
вне сферы (r > R)
Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах e есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
• Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов j1, j2,…, jn, создаваемых отдельными точечными зарядами q1, q2,…, qn:
• Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q1, q2,…, qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
где ji — потенциал поля, создаваемого всеми n - 1 зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд qi.
• Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением
Е = - gradj.
В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой
или в скалярной форме
а в случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,
E = (j1 - j2)/d,
где j1 и j2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
• Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал j1, в другую, имеющую потенциал j2,
или
где El — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; dl — перемещение.
В случае однородного поля последняя формула принимает вид
А = qE.l cos a,
где l— перемещение; a — угол между направлениями вектора Е и перемещения l.
• Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора
С =D q / D j
где D q — заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Dj — изменение потенциала, вызванное этим зарядом.
• Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью e,
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.
• Электрическая емкость плоского конденсатора
где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними; e — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектриком толщиной di каждый с диэлектрическими проницаемостями ei (слоистый конденсатор),
• Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R1 и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R1 и R 2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e)
• Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:
в общем случае
где n — число конденсаторов;
в случае двух конденсаторов
в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый
• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:
в общем случае
в случае двух конденсаторов
в случае та одинаковых конденсаторов с электроемкостью С1 каждый С = пС1.
• Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал j и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:
• Энергия заряженного конденсатора
где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность потенциалов на его пластинах.
• Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)
где Е— напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью e; D— электрическое смещение.
• Сила постоянного тока
где Q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t.
• Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника:
где k — единичный вектор, по направлению совпадающий с направлением движения положительных носителей заряда.
• Сопротивление однородного проводника
где r — удельное сопротивление вещества проводника; l — его длина.
• Проводимость G проводника и удельная проводимость g вещества
• Зависимость удельного сопротивления от температуры
где r и r0 — удельные сопротивления соответственно при t и 0°С; t — температура (по шкале Цельсия); a — температурный коэффициент сопротивления.
• Сопротивление соединения проводников:
последовательного
параллельного
Здесь Ri — сопротивление i-го проводника: п — число проводников.
• Закон Ома:
для неоднородного участка цепи
для однородного участка цепи
для замкнутой цепи (j1=j2) I = e /R
Здесь (j1 - j2) — разность потенциалов на концах участка цепи; e12 — ЭДС источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи.
• Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.
где n — число токов, сходящихся в узле.
Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.
где Ii — сила тока на i-м участке; Ri — активное сопротивление на i-м участке; ξ i — ЭДС источников тока на i-м участке; п — число участков, содержащих активное сопротивление; k — число участков, содержащих источники тока.
• Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами в участке цепи постоянного тока за время t,
• Мощность тока
• Закон Джоуля — Ленца
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепизавремя t.
Закон Джоуля — Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения.
• Закон Био — Савара — Лапласа
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током; m — магнитная проницаемость; m0 = 4p×10-7 Гн/м — магнитная постоянная; d l — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.
Модуль вектора dB выражается формулой
где a — угол между векторами d l и r.
• Магнитная индукция В связана с напряженностью Н магнитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотношением
или в вакууме
• Магнитная индукция в центре кругового проводника с током
где R — радиус кривизны проводника.
• Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током,
где r — расстояние от оси проводника.
Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника,
При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в которой определяется магнитная индукция, -cosj2 = cosj1 = cosj и, следовательно,
• Магнитная индукция поля, создаваемого соленоидом в средней его части (или тороида на его оси),
где n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I — сила тока в одном витке.
• Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций B1, B 2,…, Вп складываемых полей, т. е.
В частном случае наложения двух полей
а модуль магнитной продукции
где a — угол между векторами В1 и В2.
• Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле,
где I — сила тока; I — вектор, равный по модулю длине I проводника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля.
Модуль вектора F определяется выражением
где а — угол между векторами I и В.
• Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I1 ц 12, находящихся на расстоянии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной I, выражается формулой
• Магнитный момент контура с током
где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.
• Механический момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,
Модуль механического момента
где a — угол между векторами рт и В.
• Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле
• Сила, действующая на контур с током в магнитном полe, изменяющемся вдоль оси x,;
где — изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, расcчитанное на единицу длины; а — угол между векторами рт и B.
• Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается формулой
где a — угол, образованный вектором скорости v движущейся частицы и вектором магнитной индукции В.
• Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
А =I DФ,
где DФ — изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре.
• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея— Максвелла)
где e i — электродвижущая сила индукции; N — число витков контура; y— потокосцепление.
Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:
а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,
где a — угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукции В;
б) электродвижущая сила индукции ξi, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью w в однородном магнитном поле с индукцией В
где wt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали п к плоскости рамки.
• Количество электричества Q, протекающего в контуре,
где R — сопротивление контура; Dy — изменение потокосцепления.
• Электродвижущая сила самоиндукции ξi, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,
где L — индуктивность контура.
• Потокосцепление контура
где L — индуктивность контура.
• Индуктивность соленоида (тороида)
Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнитной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой
• Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L:
а) после замыкания цепи
где Е — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замыкания цепи;
б) после размыкания цепи
где I0 — сила тока в цепи при t = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.
• Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой
где I — сила тока в контуре.
• Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)
Примеры решения задач
Пример 1. Тонкий стержень длиной l = 30 см несёт равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью t = 1 мкКл/м. На расстоянии r0 = 20 см от стержня находится заряд Q1 = 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.
Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределённый по длине стержня. Однако если выделить на стержне малый участок длиной dl, то находящийся на нём заряд d Q = tdl можно рассматривать как точечный и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и d Q:
(1)
где r – расстояние от выделенного элемента до заряда Q1.
Из чертежа следует, что и , где r0 – расстояние от заряда Q1до стержня. Подставив эти выражения r и dl в формулу (1), получим
(2)
Следует иметь в виду, что d F – вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: d F1, перпендикулярную стержню, и d F2, параллельную ему.
Из рисунка видно, что dF1 = dF×cosa, dF2 = dF×sina. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдём:
Интегрируя эти выражения в пределах от -b до +b, получим
В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня интегрирования второго выражения даёт нуль:
Таким образом, сила, действующая на заряд Q1,
(3)
Из рисунка следует, что . Подставив это выражение sinb в формулу (3). Получим
(4)
Произведём вычисления по формуле (4):
Пример 2. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью s=400 нКл/м2, и бесконечной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью t = 100 нКл/м. На расстоянии r = 10 см от нити находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллельной заряженной плоскости.
Решение. Сила, действующая на заряд, помещенный в поле,
F = Eq, (1)
где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд q.
Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заряженной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью, однородно, и его напряженность в любой точке
(2)
Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле
(3)
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряженность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей Е1 и Е2 , (рис. 14.5): Е= Е1 + Е2. Так как векторы Е1 и Е2 взаимно перпендикулярны, то
Подставляя выражения Е1 и Е2 по формулам (2) и (3) в это равенство, получим
или
Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (1):
(4)
Подставив значения величин Q, e0, s, t, p и r в формулу (4) и сделав вычисления, найдем
F = 289 мкН.
Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, совпадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом а к заряженной плоскости. Из рисунка следует, что
tg a = , откуда a = arctg ().
Подставив значения величин s, t, p и r в это выражение и вычислив, получим
а = 51°34'.
Пример 3. Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды Q1= 1 нКл и Q2 = - 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см и r3 = 15 см. Построить график Е(r}.
Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях: область 1(r < R1}, область II(R1 < r2 < R2), область III(r3 > R2).
1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем сферическую поверхность S1 радиусом r1, и воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство
(1)
где En — нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая Еп должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. En = E1 = const.
Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
Так как площадь сферы не равна нулю, то
E1=0,
т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.
2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом r2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Q1, то для нее, согласно теореме Остроградского — Гаусса, можно записать равенство
(2)
Так как En = Е2 == const, то из условий симметрии следует
или откуда
.
Подставив сюда выражение площади сферы, получим
(3)
3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом r3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q1 + Q2.Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид
Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем
(4)
Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля:
Выразим все величины в единицах СИ (Q1 =10-9 Кл, Q2 = - 0,5 ×10-9 Кл, r2 = 0,09 м, r2 = 0,15 м, 1/(4pe0) = 9 × 109 м/Ф) и произведем вычисления:
Е2 = 9×109 В/м =1,11×103 В/м =1,11кВ/м;
Е3 = 9×109 В/м = 200В/м.
4. Построим график Е(r). В области I (r1 <.R1) напряженность Е = 0. В области II(R1 £ r < R2) напряженность Е2(r) изменяется по закону 1/г2. В точке r = R1 напряженность E2(R1) = = 2500 В/м. В точке r = R2 (r стремится к R2 слева) E2(R2) = = 900 В/м. В области III (r>R2) Ез(r) изменяется по закону 1/r2, причем в точке r = R2 (r стремится к R2 справа) E3(R2)= = 450 В/м. Таким образом, функция Е(r) в точках r = R1 и r = R2, терпит разрыв. График зависимости Е(r) представлен на рис.
Пример 4. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина I нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.
Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги. На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ = tdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.
Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:
где r — радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекции dEx и dEy на оси координат:
где i и j — единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием:
Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл dEx равен нулю. Тогда
где
Так как r=R=const и dl=Rdu, то
Подставим найденное выражение dEy в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до p/3, а результат удвоим:
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3 l = 2pR), получим
Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу. Подставив значение т и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем
Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал dj, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О
Заменим r на R и произведем интегрирование:
Так как l = 2pR/3, то
Произведя вычисления по этой формуле, получим
Пример 5. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U0 = 10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U1 = 100 В, по линии АВ, параллельной пластинам. Расстояние d между пластинами равно 2см. Длина пластин конденсатора в направлении полета электрона равна 20 см. Определить расстояние ВС на экране Р, отстоящем от конденсатора на l 2 = 1 м.
Решение. Движение электрона внутри конденсатора складывается из двух движений:
1) по инерции вдоль линии АВ спостоянной скоростью v 0, приобретенной под действием разности потенциалов U0, которую электрон прошел до конденсатора;
2) равномерно ускоренного движения в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под действием постоянной силы поля конденсатора. По выходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v, которую он имел в точке М в момент вылета из конденсатора.
Из рисунка видно, что искомое расстояние
|ВС| = h1 + h2,
где h1 — расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h 2 — расстояние между точкой D на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденсатора по направлению начальной скорости v 0, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.
Выразим отдельно h1 и h 2.
Пользуясь формулой длины пути равномерно ускоренного движения, найдем
где а — ускорение, полученное электроном под действием поля конденсатора; t — время полета электрона внутри конденсатора.
По второму закону Ньютона а = F/m, где F — сила, с которой поле действует на электрон; т — его масса. В свою очередь, F =