Правило «треугольников» (правило Саррюса)

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1. Элементы линейной алгебры

Лекция 1

Определители II и III порядка, их свойства, вычисление

План

1. Понятие определителя второго порядка

2. Свойства определителей второго порядка

3. Понятие определителя третьего порядка

4. Свойства определителей третьего порядка

5. Вычисление определителей

6. Решить самостоятельно.

 

1. Понятие определителя второго порядка

Определение. Определителем (или детерминан­том) второго порядка,, называется число .

Определитель обозначают символом

По определению, = .

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя.

Пример.

;

;

 

 

1. Свойства определителя второго порядка

 

1) Определитель не изменится, если все его строки заменить (транспортировать) соответствующими стол­бцами (равномерность строк и столбцов).

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный.

;

 

3) Если элементы одной строки (столбца) умножить на
одно и то же число X, то новый определитель увеличится в X раз. Пусть Х=5

 

4) Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавляются соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число

пусть k=3,

 

5) Если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

 

6) Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбцы), равен нулю.

 

7) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя

 

8) Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю

 

, коэффициент пропорциональности равен 4

 

1. Понятие определителя третьего порядка

 

 

Определение.Аналогично, если

- (3 строки, 3 столбца), определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом

Числа а ₁₁, а₁₂,..., а₃₃ называются элементами опреде­лителя. Формула дает разложение определителя третье­го порядка по элементам первой строки и сводит вычис­ление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Правило «треугольников» (правило Саррюса)

Пример.

1. Свойства определителей третьего порядка

 

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

 

Доказательство.

 

 

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

 

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

 

Доказательство.

 

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

 

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

 

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

 

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

 

Доказательство.

 

 

Свойство 7.

 

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

 

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

 

1. Вычисление определителей

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

1. Решить самостоятельно