Предельный признак сравнения

Если предел отношения общих членов п оложительных рядов и равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда и сходятся или расходятся одновременно, т.е из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из ра сходимости ряда следуетра сходимость ряда .

Замечания:

1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах и , то предел отношения общих членов может быть равен и нулю (но не бесконечности);

2) если речь идёт о двух расходящихся рядах и , то предел отношения общих членов может быть равен и бесконечности (но не нулю);

3) п редельный признак сравнения применяется тогда, когда общие члены рядов являются отношением многочленов от . Либо один или оба многочлена также могут находиться под корнем;

4) не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов при использовании предельного признака сравнения, можно было составить – это не изменило бы сути дела.

Довольно часто числовой ряд сравнивают с известными гармоническим и обобщенно-гармоническим рядами.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда

Используем первый признак сравнения рядов. Для сравнения удобно выбрать сходящийся ряд, например, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: со знаменателем .

Из сравнения общих членов рядов и имеем . Получили и ряд сходится. Следовательно, по первому признаку сравнения заданный ряд тоже сходится.

Пример 4.6. Исследовать на сходимость ряд .

Преобразуем общий член ряда . Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Применяем предельный признак сравнения.

Вывод: предел отношения общих членов п оложительных рядов и равен конечному числу , ряд – сходится, значит, исследуемый ряд тоже сходится. Ответ: ряд сходится.

Если бы для сравнения был выбран другой ряд, а не ряд , из совокупности обобщенно-гармонических рядов, то не получилось бы в пределе отношения общих членов конечного, отличного от нуля, числа.

Пример 4.7. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда . Применим предельный признак сходимости. В качестве ряда возьмем обобщенно-гармонический ряд с показателем . Ряд – расходится.

Рассмотрим

Следовательно, ряды и сходятся и расходятся одновременно. Ряд – расходится, поэтому и ряд тоже расходится.

Лемма 4.1. Если члены строго положительного ряда (4.1) при всех номерах n удовлетворяют неравенству: ,

где q - некоторое постоянное число, меньшее единицы: 0 < q < 1,

то ряд (4.1) сходится.

Доказательство. Действительно, по условию

Перемножая эти неравенства и сокращая, получим: .

Тогда . Это говорит о том, члены ряда (4.1) не больше соответствующих членов ряда , т.е.

Множитель в скобках представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем . Прогрессия – сходится. Но тогда сходится и ряд (4.1).

Замечание. Неравенство еще не обеспечивает сходимости ряда (4.1). Это видно хотя бы на примере гармонического ряда .

Признак Даламбера

Теорема 4.8. Пусть ряд (4.1) –строго положительный и существует (конечный или бесконечный) предел . Тогда при l > 1 ряд (4.1) расходится, а при l < 1 сходится. При признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда.

При нужно использовать другой признак, чаще всего требуется применить предельный признак сравнения.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда l > 1.

Так как , то при достаточно больших номерах (например, для ) будет справедливо неравенство: или , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера . По этой причине остаток ряда . Отсюда вытекает, что остаток ряда – расходится, и следовательно, по теореме 4.5 и сам ряд (4.1) расходится.

Пусть теперь l < 1. Возьмем какое-нибудь число q, удовлетворяющее неравенству l < q < 1 (например, положим ). Тогда найдется такое натуральное число m, что при всех n > m будет выполняться неравенство: