Геометрическая интерпретация

Неравенства и их свойства. Линейные системы уравнений и неравенств. Геометрическая интерпретация.

План.

Неравенства и их свойства.

Линейные системы уравнений и неравенств.

Геометрическая интерпретация

– неравенства I степени с одной переменной

– неравенства II степени с одной переменной

 

Решить неравенство – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Два неравенства называются равносильными, если множество решений этих неравенств совпадают.

Решим неравенства

а)

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит переменной, то есть сразу видно чт часть и приведем к общему знаменателю. общий знаменатель 10; так как знаменатель не содержит перемено он не равен нулю, то в дальнейшем его можно не писать (опустить).

 

б)

, то есть

 

 

Используя свойства числовых неравенств, имеем

, знак неравенства меняется на противоположный

Или можно записать в виде системы неравенств

 

в)

Решаем две системы

 

 

Ответ: .

г)

умножим на (–1)

квадратное неравенство

Найдем корни уравнения

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения параболы и оси OX

Изобразим геометрически:

 

или

 

 

или

 

получаем три интервала, в которых определяем знак трехчлена. Так как мы решаем неравенство , то решением неравенства будет промежуток (интервал)

действительных корней нет, так как ветви параболы направлены вверх, то парабола не пересекает ось и расположена выше её, где всегда > 0,

 

а мы решаем неравенство , значит данное неравенство не имеет решения.

 

уравнение не имеет действительных корней, т.е. парабола не пересекает ось, ветви параболы направлены вверх,

а так как мы решаем неравенство , то оно имеет множество решений, т.е. .

то оно имеет множество решений, т.е. е пересекает ось, ветви параболы направлены вверх, т.е. ж) – дробно–рациональное неравенство, которое может быть решено или через системы неравенств или методом интервалов. Перенесем правую часть в левую, приведем подобные члены

Решим через системы неравенств. Дробь < 0, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, т.е.

(Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю).

При решении системы неравенств надо решить каждое неравенство и выбрать общие промежутки.

Решаем

 

система не имеет решения. Следовательно решением данного неравенства является .

Метод интервалов позволяет ускорить процесс решения неравенства корни и .

Метод интервалов позволяет решать не только неравенства II степени, дробно–рациональные но и более высоких степеней.

находим корни многочлена

всегда, т.е. действительных корней нет.

Отметим корни на числовой прямой, учитываем, что числитель может быть равен нулю.

только определяем знак выражения в каждом промежутке

 

3,5

–

–

–

+

+

и тогда решением неравенства является .

Можно несколько ускорить процесс определения знака в промежутках.

В промежутке больше большего корня всегда выражение больше нуля, а затем, если корень повторяется нечетное число раз (кратность его нечетная), то знаки в промежутках справа и слева от корня изменяются, а если кратность корня четная, то знак справа и слева от корня не изменяется.

 

, так как , то можно записать

и тогда

Самостоятельно: