Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:
Определение: Функция вида
y = f(g(x))
называется сложной функцией, составленной из функций f u g, или суперпозицией функцийf и g.
Пример: Функция у =ln( cos x) есть сложная функция, составленная из функций
у = lnu и u = cos x.
Поэтому сложную функцию часто пишут в виде
y = f(u), где u = g(x).
Внешняя функция Промежуточная
функция
При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.
Вернемся к примеру. Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.
Как же вычислить производную сложной функции?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема: Если функция u = g(x) дифференцируема в некоторой точке х 0, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u0 = g(x0), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x0.
При этом
или
,
т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную о т и по переменной х.
Правило:
1 Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;
2 Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;
3 Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;
4 Производную находим по ходу чтения функции.
А теперь разберем это на примере:
Пример1: Функция у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:
.
Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.
Продифференцируем функцию: у =ln( cos x)=lnu, u=cosx.
.
На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.
Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.
Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.
.
Пример2: Найти производную функции у = (x3 - 5х + 7)9.
Решение: Обозначив в «уме» u = х3 – 5x +7, получим у = u9. Найдем:
и
По формуле имеем
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Если функция y = f(x) задана в виде:
причем функция j(t) имеет обратную функцию t = Φ(x), то у = y(Φ(х)), и
Полученная формула дает возможность находить производную функции, заданной параметрически, без определения непосредственной зависимости у от х.
Пример.
х = а(1 – cost), y = a(t– sint) – параметрические уравнения кривой, называемой циклоидой. Найдему΄(х):
Логарифмическое дифференцирование
Иногда полезно использовать так называемую формулу логарифмического дифференцирования. Пусть f(x)>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле производной сложной функции
откуда
Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма данной функции найти проще, чем производную самой функции.
Примеры.