БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. Задание № 1.1

Задание № 1.1

Задача

В схеме (рис. 2.1) выбрать условно положительные направления токов ветвей, пронумеровать узлы и построить направленный топологический граф цепи. Выбрать дерево графа и определить его главные контура. Составить в вещественной форме систему топологических уравнений на основании первого и второго законов Кирхгофа, а также систему уравнений, определяющих связь между током и напряжением каждой ветви.

 

 

Теоретические вопросы:

Приведите определение ветви и узла электрической цепи.

Приведите определение графа электрической цепи, дерева графа, главных ветвей и главных контуров графа.

Сформулируйте первый закон Кирхгофа и поясните, как определяется
число независимых узлов цепи.

Сформулируйте второй закон Кирхгофа и поясните, как определяется
число независимых контуров цепи.

Поясните связь мгновенных значений тока и напряжения в сопротивлении, ёмкости и индуктивности.

Ответы на вопросы:

Ветвью называется участок электрической цепи с двумя выводами, состоящий из одного или нескольких последовательно соединённых элементов, по которым протекает один и тот же ток.

Узел – это точка электрической цепи, где сходится не менее трех ветвей.

Графом электрической цепи называется условное изображение электрической цепи, в котором каждая ветвь цепи заменяется отрезком линии. При этом идеальный источник напряжения учитывается как короткозамкнутая ветвь, а идеальный источник тока — как разомкнутая ветвь.

Деревом графа называется его часть, содержащая все узлы, но не содержащая ни одного контура. Ветви графа, образующие дерево, называются ветвями дерева. Число ветвей дерева определяется по формуле , где — число узлов графа. В качестве ветвей дерева запрещается выбирать ветви, содержащие источник тока.

Главными ветвями графа называются ветви, не вошедшие в дерево. Число главных ветвей определяется по формуле , где — число ветвей графа.

Главными контурами графа называются контура, образованные путем последовательного добавлением к дереву графа его главных ветвей. Число главных контуров равно числу главных ветвей .

Первый закон Кирхгофа: сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла. Для определения числа независимых узлов достаточно, чтобы каждое из уравнений баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током.

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах, входящих, в ветви контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующей в данном контуре.

Решение задачи

Граф:

По первому закону Кирхгофа:

Узел(0): i₁+i₅=i₄

Узел(1): i₂=i₁+i₆

Узел(2): i₄=i₂+i₃

Узел(3): i3+i₆=i₅

По второму закону Кирхгофа:

Контур (0) – (1) – (2): U_j+jR₂+ +i₂R₁+L_{1 =} - e₃+e₁

Контур (0) – (2) – (3): U_j+jR₂+i₃R₃+ = e₂

Контур (0) – (1) – (3): + L_{2 =} e₃

Связь между током и напряжением для:

Ветвь 1: U = e₃

Ветвь 2: U = i₂ +i₂R₁+L₁

Ветвь 3: U = i₃R₃

Ветвь 4: U = jR₂

Ветвь 5: U =

Ветвь 6: U = L₂

Задание № 1.2

Задача

1. Определить амплитуду, действующее значение, частоту, угловую частоту и начальную фазу заданных гармонических тока и напряжения (таблица 2.1). Найти комплексные амплитуды и комплексные действующие
значения тока и напряжения в показательной и алгебраической формах.
Построить векторные диаграммы комплексных амплитуд тока и напряжения.

i = – cosl05 t A
u = 3cos (π/3*10 ⁶ t – 16°) В

2. Записать выражения для мгновенных значений гармонических напряжений, соответствующих заданным комплексной амплитуде и комплексному действующему значению напряжения (таблица 2.2), полагая
частоту напряжения равной .

Ů m 1=10ej B; Ů2=(–6+8j)/(–4 –j3) B

 

Теоретические вопросы:

Приведите примеры выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел и функций.

Запишите законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

 

Ответы на вопросы:

Чтобы произвести алгебраические операции сложения и вычитания комплексных чисел, следует использовать следующие формулы:

.

.

При сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части. Аналогичное правило действует и для вычитания.

При умножении комплексных чисел, следующее правило: модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, то есть аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. В свою очередь модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, делённому на модуль делителя, то есть аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.

При умножении двух комплексных чисел получается выражение:

Пример 1. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Теперь умножаем:

Пример 2. Выполнить операцию вычитания из комплексного числа комплексного числа .

Решение. Применяем формулу вычитания и, опять же, не путаясь в знаках, получаем:

Пример 3. Выполнить операцию умножения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу для умножения и получаем:

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Решение задачи:

1.1) для тока:

амплитуда A_m = -1

действующее значение А = = = = -0,7

угловая частота: = 10⁵

частота: f = = = 1.6*10⁴

начальная фаза:

комплексная амплитуда A_m= A_m* = -1

комплексное действующее значение: A= = = -0,7

 

1.2) для напряжения:

амплитуда A_m = 3

действующее значение А = = =

угловая частота: = 10⁶

частота: f = = = 1.5*10⁶

начальная фаза: = -16^о = -0,09 рад

комплексная амплитуда A_m= A_m* = 3*

A_m= A(cos +jsin ) = 3(cos(-16^o)+jsin(-16^o))=3(1+j(-0.09))

комплексное действующее значение: A= = = =

2.1) U = 10cos(

2) найдем комплексное действующее значение напряжения:

A = = = -2j

A = = = 0-2 j, откуда амплитуда = -2

Задание № 1.3

Задача

Для двухполюсника, изображенного на рис. 2.2, определить на частоте , значение которой указанно на рисунке, комплексное сопротивление и комплексную проводимость в показательной и алгебраической формах записи, если параметры элементов цепи имеют следующие значения:
R = 100 Ом; L = 10 мГн; С = 1 мкФ. Построить векторные диаграммы комплексного сопротивления и комплексной проводимости двухполюсника.
Определить фазовый сдвиг между напряжением и током на выводах двухполюсника и описать характер его комплексного сопротивления.

Теоретические вопросы:

Приведите в вещественной и комплексной форме выражения, связывающие гармонические ток и напряжение на выводах сопротивления R, индуктивности L и ёмкости С.

Дайте определение комплексного сопротивления и комплексной проводимости двухполюсника, и поясните физический смысл модуля и аргумента этих комплексных величин.

 

Ответы на вопросы:

Комплексное сопротивление - комплексная величина, равная отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи.

Комплексная проводимость двухполюсника – Величина обратная комплексному сопротивлению:

,

где g– активная проводимость;

b– реактивная проводимость;

Решение задачи:

L = 10^-2Гн

C = 10^-6ф

R = 100 Ом

 

Преобразуем схему – треугольник 1-2-3 в звезду:

X₁=X₂=X₃= ;

 

Тогда схема примет вид:

= + = + =

x₄ = ;

тогда эквивалентное сопротивление:

Z_экв = +

Подставляя: х_с = = - ; x_L = j L, находим комплексное сопротивление:

Z_экв = - +

-100j+ = -100j+ = -100j+ =

= -100j+ = -100j+ =

= -100j+ = 0.813-99.368j

= = 99.37 Ом

= arctg () = - = - 0.497

= e^j = 99.37*e^-j*0.497

Комплексная проводимость

Y = = = = 8.2*10^-5 + 0.01j

В показательной форме Y = e^j*0.497

Фазовый сдвиг между напряжением и током =

Задание №1.4

Задача:

Для цепи (рис. 2.1), находящейся при гармоническом воздействии, составить в комплексной форме систему уравнений электрического равновесия методом контурных токов и методом узловых напряжений.

 

 

Теоретические вопросы:

Опишите порядок составления системы уравнений электрического
равновесия цепи методом контурных токов.

Опишите порядок составления системы уравнений электрического
равновесия цепи методом узловых напряжений.

 

Ответы на вопросы:

Порядок составления системы уравнений электрического
равновесия цепи методом контурных токов:

Левая часть контура уравнения составляется в виде алгебраической суммы произведений контурного тока на собственное сопротивление контура, равное сумме сопротивлений ветвей, образующих, контур, а так же произведений контурных токов смежных контуров на их взаимное сопротивление с данным контуром. А в правую часть уравнения записывается как алгебраическая сумма ЭДС действующих в контуре. при этом уравнение составляется с учетом выбранных направлений контурных токов. А так же ЭДС.

 

Порядок составления системы уравнений электрического
равновесия цепи методом узловых напряжений:

Левая часть каждого уравнения должна представлять собой алгебраическую сумму произведений узлового напряжения данного узла на собственное сопротивление собственного узла, которая равна сумме проводимости ветвей, а так же произведений узловых напряжений. При этом правая часть уравнения должна представлять собой узловой ток, равный сумме токов подключенных к данному узлу.

Решение задачи:

Метод контурных токов

Контур I (0 – 1 – 2 – 0):

I_II = (- +R₁ + L₁j+ L₂j+R₃) – I₂₂R₃+I₃₃ L₂j = e1 – e2;

Контур II (0 – 2 – 3 – 0):

– I₁₁R₃ + I₂₂ (R₂ + R₃ - ) - = e₂;

Контур III (1 – 2 – 3 – 1):

I₁₁ L₂j - + I₃₃ ( L₂j - ) = e₃.

 

 

Метод узловых напряжений:

Узел 1: U₁(Y₁+Y₂+Y₃) – U₂Y₁ – U₃Y₃ = -e₂Y₃ – e₁Y₁+j

Узел 2: U₂ = e₃

Узел 3: – U₁Y₃ – U₂Y₂₃ + U₃(Y₃+Y₂₃+Y₃₀) = e₂Y_3;

Где:

Y₁ = ;

Y₂ = ;

Y₃ = ;

Y₂₃ = ;

Y₃₀ = =

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов, В. П. Основы теории цепей: Учебник для студентов ВУЗов
по специальности "Радиотехника" / В. В. Попов. — М.: Высш. шк., 1985.
— 496 стр.
2. Бирюков, В. Н. Сборник задач по теории цепей: учеб. пособие, под.
ред. В.П. Попова / В. Н. Бирюков, В. П. Попов, В. И. Семенцов. — М.:
Высш. шк., 1985. — 239 с.
3. Белецкий, А. Ф. Теория линейных электрических цепей: учебник
для вузов / А.Ф. Белецкий. — М.: Радио и связь, 1986. — 544 с.
4. Атабеков, Г. И. Теоретические основы электротехники. Линейные
электрические цепи. Ч. 1: Учебник / Атабеков Г. И. — М.: Энергия, 1978.
— 426 с.
5. Оформление текстовых работ: методические указания / СевГУ;
сост. В. Г. Слёзкин, П. П. Ермолов. — Севастополь: Изд-во СевГУ, 2015.
— 19 с