Свойство площадей треугольников

Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого аффинного преобразования. [1]

Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M’, N’ и K’, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и M’N’K’. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника: ,

. (6)

Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства

Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:

После последовательных преобразований полученного выражения имеем: , то есть . Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать.

Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.

Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные -угольники.

Род аффинного преобразования

Ориентация плоских фигур

Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную.

Ориентация пар векторов

Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ₁Е₂ (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора к вектору (на угол, меньший 180⁰). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов и ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от к совпадает с направлением вращения от к ; в противном случае пару векторов и назовём ориентированной отрицательно.

Рис. 1

Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае – отрицателен.

Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами: . Найдём синус угла между векторами (p) и (q): . Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа .

Образом вектора (p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор с комплексной координатой , вектор , являющийся образом вектора (q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату . Найдём теперь синус угла между векторами и : . Упростив правую часть равенства, получим: . Знак синуса угла между векторами и зависит от знаков выражений и так как второе из них присутствует в выражении , то именно от выражения зависит, будет ли знак синуса угла между векторами и отличаться от знак синуса угла между векторами и . То есть если значение выражения положительно, то ориентация пары векторов и будет совпадать с ориентацией пары векторов и . В противном случае при аффинном преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную.

Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель положителен. В этом случае преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. Иначе, аффинное преобразование меняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель отрицателен. И в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго рода.