Введение
Для создания новой физической теории необходимо cформулировать систему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическому смыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов с математическим формализмом.
Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегрального исчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представлениях физиков о математических основах их науки. Закономерности микромира коренным образом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мы являемся.
Одно из основных понятий квантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смысл этого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятия состояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессе изучения.
Информацию о состоянии системы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовой системы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измерения характеризуются теми же физическими величинами, которые используются в классической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механике часто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механике физические величины имеют иную математическую природу, чем в классической, потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные "взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классической точки зрения". [1, c31].
В квантовой механике изучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий. Ведь наш язык – это "слепок с обыденного опыта человека, он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент".[1]
При изучении явлений, происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходит другой язык – математика. "Математика есть орудие, специально приспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этом отношении ее могущество беспредельно". [1, c13]. "Тем не менее, – считает П. Дирак, – математика есть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к их математической форме". (Там же). Выбор математических методов, адекватных физической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий между понятиями и методами математики и физики способствует формированию современного физического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектов возможно только при их реализации физическими объектами.
Для описания квантовых свойств материи может быть использован различный математический аппарат. В 1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году, но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, что обе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механики создана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчас чаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны, могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическим результатам.
Основы теории представлений. Различные представления волновой функции (различные представления состояния)
Состояния квантово-механической системы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности. Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными. Например, декартовы координаты системы
,
значения ее импульса
и т. п. Буквы, обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс 
волновой функции (в данном случае 
) обозначает набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые характеризуют данное состояние. Поэтому этот индекс обычно называют индексом состояния.
Если волновая функция зависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатным представлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси 
, в координатном представлении.
Волновую функцию 
, характеризующую состояние системы, можно разложить в ряд по собственным функциям оператора динамической переменной 
. Если этот оператор имеет дискретный спектр собственных значений, т. е.
, то
Коэффициенты разложения определяются из выражения
(Здесь, как и раньше, 
– произведение дифференциалов независимых переменных). В § 2.4.2 был выяснен физический смысл этих коэффициентов: 
есть вероятность того, что в состоянии, описываемым -функцией, физическая величина, представляемая оператором 
, имеет значение 
. Таким образом 
имеет смысл амплитуды вероятности, если независимой переменной является величина 
. Совокупность амплитуд 
является волновой функцией в 
- представлении. Эту совокупность можно представить в виде матрицы с одним столбцом
Если спектр собственных значений оператора непрерывный, то аналогично имеем
Пример 1. Записать скалярное произведение двух функций 
и 
в 
- представлении.
Компоненты 
и 
в - представлении находим, раскладывая эти функции в ряд по собственным функциям оператора 
:
, (Ι)
(ΙΙ)
(ΙΙΙ) 
(ΙV).
Подставляем разложение (Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:
.
Меняя местами знаки суммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственных функций оператора 
получаем:
.
Чтобы получить такое выражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку
(V)
на матрицу-столбец (ΙΙΙ):
Матрица (V) транспонирована по отношению к матрице (ΙV) и ее элементы комплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называется сопряженной с 
и обозначается 
. Таким образом, комплексно сопряженной функции под знаком интеграла соответствует сопряженная матрица.
Обозначения Дирака
Проведена аналогия между собственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатных осей. Продолжим ее обсуждение.
Вектор 
в 
- мерном пространстве задается совокупностью , вообще говоря, комплексных величин, называемых компонентами этого вектора
Аналогия между соотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на оси координат в многомерном пространстве. Выражение является разложением 
-функции по собственным функциям некоторого оператора. Систему ортонормированных собственных функций 
, следовательно, можно рассматривать как базис в бесконечномерном пространстве, а величины 
– как компоненты -функции по осям этого базиса. В зависимости от выбора базиса (т. е. от выбора системы собственных функций, следовательно, от выбора представления) получается та или иная совокупность компонент 
.
Переход от одного представления к другому геометрически означает переход от системы координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора к системе координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта не обязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве. Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитуд вероятности
и т. п. Каждая из этих совокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и является одной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в - мерном евклидовом пространстве может быть представлен совокупностью его проекций в различных системах координат:
, 
и т. п. Здесь 
– базисные векторы (орты), например, в сферической системе координат, 
– в декартовой.
Данная аналогия привела П. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложил обозначать символом 
. В середине скобки, по Дираку, должен помещаться индекс состояния, т. е. величина или набор величин, которые определяют состояние системы. Например, если система находится в состоянии с энергией 
, то записывают 
или 
. Этот вектор состояния называют кэт-вектором. Он характеризует состояние системы независимо от выбора представления. Кэт-вектору сопоставляется бра-вектор, обозначаемый зеркально отраженной скобкой 
. Бра-вектор связан с кэт-вектором соотношением 
= 
+. Например, если совокупность компонент кэт-вектора представлена в виде матрицы
= 
, то 
= += 
.
Внутри скобки помещается индекс представления. Например, 
| означает, что используется координатное представление. Скалярное произведение кэт и бра-векторов обозначается полным скобочным выражением 
и представляет собой число. Например, волновая функция 
в 
- представлении с помощью скобок записывается так: 
. Волновая функция свободной частицы, находящейся в состоянии 
определенным значением импульса 
в координатном представлении (время фиксировано):
,
Название «бра» и «кэт» соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка).
Волновая функция (амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатов измерений, проводимых над системой. Скобочное выражение 
составлено так, что справа указывается начальное состояние, а слева – то, в которое переходит система при измерении, т. е. конечное. Таким образом, скобочная запись читается справа налево. Например, 
есть амплитуда вероятности того, что система будет иметь координату 
, если она находится в состоянии характеризуемом импульсом 
.
Уравнение собственных значений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде:
Здесь собственный вектор состояний 
обозначается той же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясь этими обозначениями, выражение. Пусть 
вектор состояния системы, а – базисная система векторов. Тогда
>= 
, где 
Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния 
могут соответствовать различные волновые функции: в координатном представлении – 
, в импульсном – 
, в энергетическом – 
и т.д. Т.е. волновая функция есть проекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.
Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма.
Пусть 
- единичный оператор, который любому вектору состояния 
ставит в соответствие тот же вектор:
Представим 
в виде разложения по ортонормированному базису 
(т.е. по системе собственных векторов оператора 
):
Подставляем это разложение в:
В силу произвольности вектора 
получаем
Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака.
Пример. Записать в обозначениях Дирака среднее значение физической величины представленной оператором , если состояние системы характеризуется вектором состояния 
. (Спектр собственных значений оператора 
считать дискретным).
Среднее значение дискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений на их вероятности:
Здесь 
- собственные значения оператора 
, 
- его собственные векторы и 
- волновая функция системы в 
- представлении. Преобразуем выражение для среднего значения, пользуясь свойством скалярного произведения
В последнем преобразовании использовано условие полноты
Таким образом, в обозначениях Дирака
квантовый представление волновой состояние