Лекция 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Метод наименьших квадратов широко используется для обработки экспериментальных данных, точки которых измерены с заметной погрешностью .

Очевидно же, что при наличии значительных ошибок эксперимента Ньютоновская интерполяция неразумна. Это хорошо видно из рис. 8.1, показывающего описание изменений радиоактивного распада в выравнивающих переменных интерполяционным многочленом Ньютона и прямой линией, найденной методом наименьших квадратов.

Итак, из рисунка 8.1 мы приходим к выводу, что здесь надо через экспериментальные точки провести прямую линию и она, по физике, будет ближе к истине, нежели чем многочлен Ньютона. То есть, теперь наша задача найти константы и .

Как это сделать? Рассмотрим ещё более простой пример. Предположим, что у пропорционально х, т.е. ищем формулу вида .

Теперь задача сводится к определению всего лишь одного коэффициента k. При такой формуле каждый опыт дает определенное значение k, именно

где x_n, y_n – значения величин х, у, полученные в n -м опыте. Индекс n у величины k показывает, что это значение, соответствующее n -му опыту. Из значений k_n можно образовать среднее, положив

где р – общее число опытов. Мы получаем формулу

Отметим, что это – самый простой, но не самый лучший метод выбора величины .

Поставим задачу о нахождении значения k, при котором функция у = kх наилучшим образом соответствует опытным данным, т.е. будем искать k не как среднее арифметическое, а по-другому.

За меру отклонения функции от экспериментальных данных для n -го опыта выберем величину которое называется -ым уклонением. Спрашивается почему а не Ясно, что оба знака уклонения kх_n от у_n нехороши: плохо, если k таково, что у_n < kх_n,но также нехорошо, если k таково что у_n > kх_n. Если бы за меру уклонения мы взяли величину у_n - kх_n, а затем стали находить сумму уклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что взятая функция у = kх хороша. Если же за меру уклонения взять то такого взаимного уничтожения не произойдет, так как все величины положительны. Отметим, что вместо в принципе, можно было бы взять и т.д. Однако при этом дальнейшие вычисления значительно усложнились бы.

Теперь в качестве меры общей ошибки S в описании опытных данных функцией у = kх возьмем сумму квадратов уклонений для всех опытов, т.е.

Для того чтобы найти при котором наименьшее, решим уравнение Находим:

Откуда что дает

Если в каждом опыте получается точно то из последней формулы получаем

Если для различных опытов величина различна, то, подставляя в последнюю формулу вместо у_n его значение к_nx_n, получим

(8.1)

Пусть среди величин k ₁, k ₂, … k_р, полученных в различных опытах, есть наибольшая величина k _max и наименьшая k _min. Если заменить в правой части все k_n на k _max, то дробь только возрастет и мы получим

Теперь вместо k ₁, k ₂, …, k_р подставляем k _min, получим . Таким образом, величина найденная из условия минимума S, удовлетворяет неравенству т.е. действительно является средней из всех значений k ₁, k ₂, …, k_р, однако это среднее составляется по более сложному правилу, нежели

Итак, если мы, методом наименьших квадратов, ищем формулу вида то надо определять по формуле

Теперь найдём способ подбора формулы . Это тоже прямая линия, но не проходящая через начало координат.

Если нет оснований предполагать, что у = 0 при х = 0, то наиболее простой является формула у = kх + b. В этом случае также можно применить метод наименьших квадратов. Величина S для этого случая дается формулой

Надо выбрать числа k и b так, чтобы величина S была наименьшей. Для этого поступим так. Если бы b было уже найдено, то в правой части можно было бы изменять только k, поэтому должно было бы быть