МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод ломаных

Это простейший численный метод, он называется еще методом Эйлера. В практике вычислений он употребляется очень редко из-за невысокой точности. Но на его примере удобно пояснить способы построения и исследования численных методов.

Рассмотрим задачу Коши и выберем на отрезке некоторую сетку значений аргумента так, чтобы выполнялись соотношения (сетка может быть неравномерной). Разлагая решение u (х) по формуле Тейлора на интервале сетки и обозначая u (x_n) = u_n, получим (19.3)

Стоящие в правой части производные можно найти, дифференцируя уравнение требуемое число раз

(19.4)

и т.д. В принципе, если f (x, u) имеет q -е непрерывные производные по совокупности аргументов, то в разложении в ряд Тейлора можно удержать члены вплоть до О (h^{q +1}). Однако использовать для расчетов формулу Тейлора с большим числом членов невыгодно. В простейшем случае, ограничиваясь только первым членом разложения, получим схему ломаных (она же схема Эйлера)

(19.5)

Поскольку при такой замене можно найти только приближенные значения искомой функции в узлах, то будем обозначать эти значения через y_n в отличие от точных значений u_n = u (x_n). Для численного расчета по схеме ломаных достаточно задать начальное значение . Затем по итерационной формуле (19.5) последовательно вычисляются величины у ₁, у ₂, …, у_N.

Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис. 19.1, где изображено поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге мы заново находим касательную; следовательно, траектория движения будет ломаной линией.

но . Отсюда .

Исследуем сходимость метода ломаных, предполагая правую часть f (x, u) непрерывной и ограниченной вместе со своими первыми производными: . Отсюда следует, что .

Рассмотрим погрешность приближенного решения

Вычитая (19.3) из (19.5), получим соотношение, связывающее погрешности в соседних узлах сетки

(члены более высокого порядка малости здесь

опущены). Последовательно применяя рекуррентное соотношение (19.6), выразим погрешность на произвольном шаге через погрешность начальных данных. Поскольку, как видно из формулы (19.6) , имеем

Отсюда

Раскрываем квадратные скобки

Отсюда видно, что для m – ного шага формула погрешности будет выглядеть следующим образом

(19.7)

Отсюда нетрудно дать асимптотическую оценку погрешности. Заметим, что при малых шагах сетки справедлива формула . Действительно, разложим функцию в ряд Тейлора по степеням в окрестности точки = 0

.

Возьмем в качестве функцию е^х и разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки х ₀ = 0

, т.е. при малых х: .

Используя это соотношение при малых шагах сетки h, получаем

причем в качестве верхнего предела интеграла можно взять х_т, ибо ошибка при этом остается в пределах общей точности преобразований. Аналогично преобразуя второй член (19.7) получим

(19.8)

Здесь h (x) – непрерывная функция, дающая в каждом узле х_n величину шага h_n; в качестве такой функции можно выбрать линейный сплайн.

Рассмотрим структуру погрешности (19.8). Первое слагаемое справа связано с погрешностью начального значения z ₀ = y ₀ – u ₀, которая умножается на ограниченную (благодаря ограниченности производных) величину. Начальное значение можно задать точно и считать, что z ₀ = 0. Остановимся на втором слагаемом. Оно обусловлено тем членом формулы Тейлора (19.3), который был отброшен при выводе схемы ломаных (19.5). Оценим это слагаемое сверху; заменяя все функции под интегралами их модулями и вынося max h (x) за знак интеграла, получим где

Таким образом, при приближенное решение сходится к точному равномерно (на ограниченном отрезке ) с первым порядком точности.

Замечание 1. Оценка погрешности (19.9) является мажорантной. Со знакопеременными производными эта оценка может быть сильно завышена по сравнению с асимптотической оценкой (19.8).

Замечание 2. Экспоненциальный член в оценке (19.9) характеризует расхождение интегральных кривых (см. рис. 19.1); если он очень велик, то исходная задача Коши плохо обусловлена.

Пример. Проинтегрируем по схеме Эйлера задачу Коши для уравнения

В таблице 19.1 даны численные решения у (х), полученные на сетках с шагами

Эти цифры получены таким образом

т.е. , у ₀ =0.

При h = 1 имеем: у ₁ = 0 + 1 (0² + 0²) = 0.

При h = 0,5 имеем: у ₁ = 0 + 0,5(0² + 0²) = 0,

у ₂ =0 + 0,5((0,5)² + 0²) = 0,125.

При h = 0,25: у ₁ = 0 + 0,25(0² + 0²) = 0,

у ₂ = 0 + 0,25((0,25)² + 0²) = 0,016,

у ₃ = 0,016 + 0,25((0,5)² +(0,016)²) = 0,078,

у ₄ = 0,078 + 0,25((0,75)² +(0,078)²) = 0,220.

Таким образом, таблица 19.1 заполняется так

Таблица 19.1

В таблице 19.1 приведено также точное решение u (х), вычисленное методом Пикара. Видно, что схема Эйлера для получения удовлетворительной точности требует гораздо более малого шага, чем использованный здесь.