Допущения, принимаемые в курсе сопромата.
1. Считают, что все тела абсолютно сплошные.
2. Все тела считаются однородными, т.е. по всем направлениям и во всех точках свойства тела одинаковые.
3. Считается, что до приложения внешних нагрузок, внутренние усилия в теле отсутствуют.
4. Принцип Сан-Венена: в точках, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, внутренние усилия не зависят от конкретного способа осуществления этой нагрузки.
5. Принцип независимости действия сил (суперпозиции): результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия этих же сил, приложенных последовательно и в любом порядке. Результатом воздействия являются внутренние усилия и деформации. Этот принцип справедлив при условиях:
1. Когда деформация мала по сравнению с размером самого тела.
2. Когда существует линейная зависимость между нагрузками и деформацией.
6. Принцип начальных размеров: при составлении уравнений равновесия тело рассматривают как недеформированное, имеющее те же геометрические размеры, какие оно имело до нагружения внешними силами
Твердость – способность материала противодействовать механическому проникновению в него другого, более твердого тела.
Материал, в котором возникают только упругие деформации, называется идеально-упругим.
Материал, у которого механические свойства по различным направлениям отличаются, называется анизотропным.
Если свойства материала образца, выделенного из тела, не зависят от его угловой ориентации, то такой материал называется изотропный.
Необходимые формулы:
Нормально напряжение
где N- продольная сила; А- площадь поперечного сечения.
Удлинение (укорочение) бруса
Е-модуль упругости; l- начальная длина стержня.
Допускаемое напряжение
[s]-допускаемые запасы прочности.
Условие прочности при растяжении и сжатии:
Пример расчета на жесткость.
Задача. На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки: изгибающий момент М, сосредоточенная сила F и распределенная нагрузка q (см. рис. 3).
Материал стержня – сталь Ст.3.
Построить эпюры поперечных сил QY и изгибающих моментов МX и подобрать сечение балки из расчета на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой балки.
Исходные данные:
М = 6 кН×м;
F = -7 кН;
q = -8 кН/м;
a = 2 м;
Сечение балки: двутавр.
Координаты приложения нагрузок:
ZM = 3а - координата приложения изгибающего момента;
ZF = а - координата приложения сосредоточенной силы;
начало распределенной нагрузки: Zq = 2а;
конец распределенной нагрузки: Zq = 3а;
ZB = 3а - координата опоры В.
Указания:
Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-неподвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих участках, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения QY и MX остаются постоянными.
Решение:
1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции RА и RВ (см. рис. 3). Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В.
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.
∑МА = М - q×a×2,5а - F×а + RВ×3а = 0,
откуда находим реакцию RВ:
RВ = (qa×2,5а + F×а – М)/3а = (8×2×2,5×2 + 7×2 – 6)/3×2 =14,67 кН.
∑МВ = М + q×a×0,5а + F×2а – RА×3а = 0,
откуда находим реакцию RА:
RА = (М + qa×0,5а + F×2а)/3а = (6 + 8×2×0,5×2 + 7×2×2)/3×2 = 8,33 кН.
Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:
∑FY = RА – F – q×a + RВ = 8,33 – 7 – 8×2 + 14,67 = 0.
Опорные реакции найдены правильно.
2. Составим уравнения внутренних усилий QY и MX для каждого силового участка балки.
2.1. Участок I: 0 ≤ Z1 ≤ 2 м.
QY1 = RA;
MX1 = - RA×ZY.
На протяжении всего участка I внутренняя сила равна RA = 8,33 кН.
Изгибающий момент на этом силовом участке изменяется линейно, поэтому для построения эпюры достаточно рассчитать его значение в двух крайних сечениях участка:
МX1=0 = 0;
МX1=2 = -8,33×2 = -16,66 кН×м.
2.2. Участок II: 2 м ≤ Z2 ≤ 4 м.
QY2 = RА – F = 8,33 – 7 = 1,33 кН;
MX2 = - RА×(2м + Z2) + F×Z2.
Изгибающий момент на этом силовом участке тоже изменяется линейно:
МX2=2 = -16,66 кН×м;
МX2=4 = -8,33×(2+2) + 7×2 = -19,32 кН×м.
2.3. Участок III: 4 м ≤ Z3 < 6 м (кроме крайней точки В, где приложен момент М).
QY3 = RА – F - q×Z3;
MX3 = - RА×(4м + Z3) + F×(2м + Z3) + q×Z3×Z3/2).
В крайней точке В (Z3 = 2 м) алгебраическая сумма всех изгибающих моментов должна быть равна нулю:
MX3=6м = - RА×(4 м + Z3=2м) + F×(2м + Z3=2м) + q×Z3=2м × Z3=2м /2) + М =
= -8,33×6 +7×4 + 8×2×1 + 6 = 0.
