Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции

Расчетно-графическая работа №3

Составная конструкция из двух элементов, соединенных внутренним шарниром С, имеет три варианта закрепления на опорах:

1. С помощью двух неподвижных шарниров.

2. С помощью жесткой заделки и одного подвижного шарнира.

3. С помощью одного неподвижного и двух подвижных шарниров.

На каждую конструкцию действуют:

- две силы Р₁ и Р₂;

- пара сил с моментом М;

- равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.

Требуется определить реакции связей в опорах А, В, D, вызванные заданными нагрузками, применяя принцип возможных перемещений.

Дано: Р₁ = 8 кН; Р₂ = 5 кН; q = 1 кН/м; М = 4 кН·м; а = 0,8 м; α = 45°

Найти: М_А, Х_А, Y_А, R_В.

Решение

Заменим равномерно распределённую нагрузку сосредоточенной силой

приложенной к середине нагруженного участка.

Сначала определим реакции заделки: реактивный момент , горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую . Для определения реак­тивного момента отбросим связь, препятствующую повороту рамы, заменив заделку шарнирно-неподвижной опорой, и приложим к элементу АС реактивный момент М_А.

Сообщим системе возможное перемещение — поворот правой части (АС) рамы на угол δφ₁ вокруг шарнира А по ходу часовой стрелки. Правая часть (ВС) рамы при этом повернется на угол δφ₂ против хода часовой стрелки вокруг точки Е.

Составим уравнение работ для определения величиныреактивного момента М_А:

Зависимость между углами поворотов левой и правой частей рамы найдем, рассмотрев перемещение δS точки С: откуда Тогда:

Для определения горизонтальной составляющей реакции заделки представим опору в виде ползуна А в горизонтальных направляющих, жёстко скреплённого с элементом АС, и приложим к нему реакцию . Сообщим всей системе возможное перемещение — поступательное перемещение вправо, так как поворот ползуна в направляющих невозможен, а опора В может перемещаться только горизонтально.

Составим уравнение работ для определения горизонтальной составляющей реакции заделки :

откуда

Для определения вертикальной составляющей реакции заделки отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки А, заменив заделку ползу­ном А в вертикальных направляющих, жёстко скреплённым с элементом АС, и при­ложим к нему реакцию .

Сообщим системе возможное перемещение — поворот левой части (ВС) рамы на угол δφ вокруг точки Н против часовой стрелки. Правая часть (АС) рамы при этом поступательно переместится вверх на величину δS = 10aδφ.

Составим уравнение работ для определения величиныгоризонтальной состав­ляющей реакции заделки .

откуда

Для определения реакции подвижной опоры В отбросим эту связь, заменив ее действие реакцией . Сообщим элементу СВ возможное перемеще­ние – поворот на угол δφ вокруг шарнира С по направлению вращения часовой стрелки. Элемент АС при этом остается непо­движным.

Составим уравнение работ для определения реакции подвижной опоры B:

откуда

Для проверки правильности решения задачи убедимся в том, что для всей рассматриваемой системы удовлетворяются уравнения равновесия:

Ответ: М_А = 30,09 кНм; Х_А = -0,66 кН; Y_A = 3,33 кН; R_B = 6,33 кН.