Тема: 1.Пирамида.
Дата: 06.11.2021 г.
Группа: МОЦИ-264
Студенты должны знать: понятие пирамиды, виды пирамид, элементы пирамиды: вершина, ребра, грани, основание;понятие площади поверхности пирамиды,формулы для вычисления площади полной и боковой поверхности прямой пирамиды.
Студенты должны уметь: применять в задачах понятияпирамиды, площади поверхности пирамиды.
Глоссарий по теме
Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников
Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником
Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.
Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником
Боковые ребра – общие отрезки боковых граней
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды
Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой
Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).
Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение пирамиды
Рассмотрим многоугольник A1A2...An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2...An и n треугольников, называетсяпирамидой.Многоугольник A1A2...Anназываетсяоснованием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1–боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAn–боковые ребрапирамиды, точкаР– вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2...Anи вершиной Р называют n-угольной пирамидой и 
обозначают PA1A2...An.
Высота пирамиды
Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).
Рисунок 1 - пирамида
Рисунок 3 – высота вне пирамиды Рисунок 4 – Высота пирамиды - боковое ребро
Правильная пирамида
Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).
Рисунок 5 – Правильная пирамида
Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.
Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2...An(рис. 5).
Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О,...АnО.
Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А1О, А2О,...АnО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА1, РОА2,...РОАnравны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA1, РA2... РAn, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.
Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
Таким образом, верны следующие утверждения:
· Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
· Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
Введем еще одно определение.
Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.
Усеченная пирамида
Возьмем произвольную пирамиду PA1A2...Anи проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В1,В2,...Вn(рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2...Anи В1В2...Вn(нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1(боковые грани), называетсяусеченной пирамидой.
Рисунок 6 – Усеченная пирамида
Отрезки A1B1, A2B2, … AnBnназывают боковыми ребрами усеченной пирамиды.
Усеченную пирамиду с основаниями A1A2...Anи В1В2...Вnобозначают следующим образом: A1A2...AnВ1В2...Вn.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды.На рисунке 7 отрезки HH1и В1O – высоты усеченной пирамиды.
Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды
Площадь поверхности пирамиды
Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.
Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.
Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?
Решение. Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.
Ответ: 177
Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?
Решение. Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4*20=80.
Ответ: 80
Домашнее задание
1.Найти высоту пирамиды
Критерии оценивания:
1. Оценка «отлично» - выставляется обучающемуся, если правильно решены все задания, выполнены в полной мере, изложены логично.
2. Оценка «хорошо» - выставляется обучающемуся, если допущены незначительные погрешности в задании.
3. Оценка «удовлетворительно» - выставляется обучающемуся, если ответ на вопрос нелогичный, не полный.
4. Оценка «неудовлетворительно» - выставляется обучающемуся, если задания не решены.
ВНИМАНИЕ!!!
Уважаемые студенты, практическое задание необходимо выполнить в рабочей тетради (сфотографировать) или в формате Документа Word. Отправлять для проверки в личные сообщения на страницу ВКонтакте:https://vk.com/kolomiyetssg?z=photo95751036_324720501%2Falbum95751036_0%2Frev
Преподаватель: Коломиец Светлана Григорьевна