Рассмотрим длинную горизонтальную выработку кругового очертания, пройденную на глубине Н от земной поверхности в однородном изотропном породном массиве с плотностью γ. Уровень напряжений, действующих вокруг выработки таков, что окружающие ее породы разрушены (пластически деформированы), т.е. Н>Нпр. Вследствие этого выработка имеет замкнутую зону неупругих деформаций с радиусом 
. Контур L разделяет область неупругих и упругих деформаций (рис. 4.5).
К поверхности выработки приложена равномерно распределенная нагрузка р0, равная отпору крепи. Начальное поле напряжений в породном массиве полагаем гидростатическим, т.е. λ =1. Действующая нагрузка 
приложена к внешней границе рассматриваемой области на расстоянии, примерно, 10 
. Рассматривается полярно-симметричная задача с плоской деформацией. Необходимо определить в полярной системе координат компоненты напряжений 
и 
в пластической области и 
и 
в упругой области породного массива, а также радиус области неупругих деформаций 
.
Уравнение равновесия для пластической области имеет вид:
(4.21)
где 
- безразмерная переменная в полярной системе координат.
Условие прочности принимаем в следующей форме
(4.22)
Учитывая, что сплошность породной среды сохраняется и для пластической области, условие неразрывности деформаций для рассматриваемой задачи имеют вид
(4.23)
С учетом (4.23) условие прочности (4.22) примет вид
(4.24)
Из (4.24) получим
(4.25)
Подставив (4.25) в (4.21), получим 
уравнение равновесия, содержащее одну переменную
. (4.26)
Решение уравнения (4.26) следующее:
, (4.27)
где С1 – неизвестная постоянная интегрирования. Величину С1 определим из (4.27) с учетом условия нагружения на контуре выработки:
при 
. (4.28)
Окончательно из (4.27) имеем
. (4.29)
С учетом (4.29) выражения (4.27) и (4.25) примут вид:
(4.30)
(4.31)
В упругой области уравнения равновесия и совместности деформаций имеют вид
(4.32)
(4.33)
Выражая величину из (4.33) и подставив ее затем в (4.32), получим уравнение равновесия
(4.34)
которое имеет следующее решение:
(4.35)
Граничные условия имеют вид:
при 
(4.36)
при 
,
где 
Первое условие (4.36) удовлетворяется автоматически, а из второго получим
(4.37)
откуда следует, что
(4.38)
С учетом (4.38), (4.35) и (4.33) получим
, (4.39)
. (4.40)
Заметим, что величина р0 << 2k и ею можно пренебречь без особого ущерба для точности вычислений. Тогда выражения (4.40) и (4.39) примут вид
, (4.41)
(4.42)
Радиус зоны неупругих деформаций определим из условия равенства тангенциальных напряжений на контуре L:
при 
. (4.43)
Используя (4.31), (4.42) и (4.43) при условии, что р0 =0, получим
(4.44)
Таким образом, поставленная задача решена.
На рис. 4.6, показан вид эпюр напряжений, действующих вокруг выработки в случае образования зоны неупругих деформаций.
Анализ графиков показывает, что образование области пластических деформаций приводит к снижению уровня напряжений у контура выработки по сравнению с решением упругой задачи. Максимум напряжений перемещается вглубь массива к границе раздела упругой и неупругой областей.
Отпор крепи оказывает несущественное влияние на абсолютную величину напряжений. В этой связи можно сделать вывод о том, что прямое увеличение несущей способности крепи не приведет к существенному улучшению геомеханической ситуации в выработки.
На рис. 4.7. показана зависимость безразмерного радиуса зоны неупругих деформаций rL от величины геомеханического показателя условий заложения выработки 
(0< U ≤1) [96].
Там же приведены результаты измерений величины rL в натурных условиях, выполненные Ю.З. Заславским, В.Т. Глушко и Н.Н. Костомаровым. Очевидно достаточно близкое совпадение аналитических и натурных измерений, что говорит о правильных исходных предпосылках к решению задачи.
А.Н. Роенко были собраны и обобщены данные об объемах ремонтных работ в протяженных выработках в зависимости от величины геомеханического показателя U [97]. Результаты обобщений приведены на рис 4.8.
Сравнивая рис 4.7 и рис. 4.8, можно заметить, что состояние выработок и зависящие от этого объемы ремонтных работ практически прямо пропорциональны размеру области неупругих деформаций. В этой связи изучение путей воздействия на породный массив с целью уменьшения зоны неупругих деформаций является важной научной и технической задачей.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое начальное поле напряжений?
2. От каких основных факторов зависят параметры «начального поля напряжений»?
3. Что такое «коэффициент бокового распора»?
4. Какое напряженное состояние называется «гидростатическим»?
5. Чему равен коэффициент бокового распора для упругой среды?
6. Чему равен коэффициент бокового распора для сыпучей среды?
7. Охарактеризуйте особенности упругого распределения напряжений вокруг круглой выработки.
8. Чем отличается распределение напряжений вокруг круглой выработки в случае решения упругой и упругопластической задач?
9. Что такое «зона неупругих деформаций»?
10. Как зависят затраты на поддержание выработок от размеров зоны неупругих деформаций?