Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями
и
называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом
, т.е.
1)
;
2)
3)
А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1)
;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
,
.
А4.
.
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .
Будем считать пары и
эквивалентными, если
, получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для
из равенства
следует, что
.
Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1. Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля, т.е.
для некоторого
. Тогда
, но
не является мультипликативно сокращаемым. ▲
Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из
. Рассмотрим множество упорядоченных пар
. Введём отношение ~ на
:
для всех
и
.
Предложение1. Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца
;
2. Симметричность: ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на
.
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим
класс эквивалентности пары
. Введём операции на множестве
всех классов эквивалентности:
т.к. для
,
,
выполнено
отсюда т.к.
получаем
и поскольку
то
следовательно
.
Покажем корректность введённых операций:
Пусть ,
, тогда
▲
Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1.
.
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение: для и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для
.
Так как
Класс является нейтральным по +:
Из равенства тогда
.
Для
составляет отдельный класс, играющий в
роль нуля.
умножение: для и
1.
2.
Из равенства правых частей следует, что
3. покажем, что для
.
Пусть
Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к.
, поскольку из равенства
тогда
.
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца
.▲
Глава 2
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы
неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал
, и он переводит
в
, где
. Аналогично, дробь
определена на идеале
и переводит
в
. Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу
, поскольку та и другая дробь переводят
в
. Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь
.
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2. Идеал коммутативного полукольца
называется плотным, если для
и
выполняется равенство
тогда и только тогда, когда
.
Свойства плотных идеалов полукольца :
10 - плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для выполнено
. Положим
, тогда
. Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
20 Если - плотный идеал и
, то идеал
плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал, то для
из равенства
следует
. Пусть для
выполнено
. Так как по условию
возьмём
. Тогда т.к.
- плотный идеал получаем
отсюда
. Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
30 Если и
- плотные идеалы, то
и
- так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для выполняется
. Пусть
, где
,
. Элемент
т.к.
, тогда верно равенство
отсюда
, т.к.
- плотный идеал имеем
,
, и
- плотный,
. Таким образом
- плотный идеал.
Пусть ,
тогда по определению идеала:
. С другой стороны
значит
. Тогда по 20
- плотный идеал. ▲
40 Если , то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для
и
выполнено
отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение3. Дробью назовём элемент , где
- некоторый плотный идеал. (
- сокращение от
- гомоморфизм, в данном случае:
- гомоморфизм
)
Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого
для
и
.
Введём так же дроби , положив
и
для
.
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть и
тогда
,
,
.
Покажем, что является идеалом, где
т.е. сохраняются операции:
1. Если , то
.
Пусть ,
, тогда
.
2. Если и
, то
. По условию
.
Так как - коммутативное полукольцо, то
.
. Таким образом,
- идеал.
Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал -
, т.е.
.
По определению сложения и умножения , т.е.
содержит плотный идеал
значит, по свойству 20 идеал
является плотным.
Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу
с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
,
.
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение4. Будем писать если
и
согласованы на пересечении своих областей определений, т.е.
для
.
Лемма 1. тогда и только тогда, когда
и
согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если то
и
согласованы на
. По свойству 30 идеал
является плотным. Следовательно,
и
согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть и
согласованы на плотном идеале
. Тогда если
и
, то
отсюда в силу плотности идеала
,
для
, но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений
и
является
отсюда следует, что
.▲
Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе
.
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что - конгруэнция, нужно показать:
1. отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность: и
согласованы на плотном идеале
.
Симметричность: пусть , т.е.
и
согласованы на
.
Транзитивность: пусть и
, т.е.
и
согласованы на плотном идеале
и
согласованы на плотном идеале
. Значит
и
согласованы на идеале
, являющемся плотным, и
согласована с
на
, тогда
согласована с
на плотном идеале
по Лемме 1
Таким образом, - отношение эквивалентности.
2. отношение сохраняет полукольцевые операции.
Ø Пусть и
, т.е.
для
и
для
.
Тогда
и
определены и согласованы на плотном идеале
отсюда по Лемме 1
.
Ø Пусть и
, т.е.
для
и
для
.
Тогда
и
определены и согласованы на плотном идеале
отсюда по Лемме 1
.▲
Теорема2. Если - коммутативное полукольцо то система
так же является коммутативным полукольцом.
. (Будем называть
полным полукольцом частных полукольца
)
Доказательство.
- разбивает множество дробей
на
непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в справедливы и в
.
Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения: и
согласованы на идеале
покажем, что образы отображений
и
совпадают на этом идеале:
пусть , где
.
Тогда .
Областью определения является
. По определению идеала:
то
для
, а идеал
(свойство 30) то:
. Тогда по определению сложения
отсюда следует
. Покажем
. По определению
Аналогично .
Тогда:
Таким образом,
где
. По свойству 30
- плотный идеал значит
и
согласованы на плотном идеале
.
2. Коммутативность.
Отображения и
согласованы на плотном идеале
докажем что их образы совпадают на этом идеале:
.
Доказано ранее, что пусть элементы
тогда
Отсюда следует, что и
согласованы на плотном идеале
.
Таким образом, по Лемме 1.
Наконец сопоставим дробь:
с областью определения
при которой
переходит в
.
Предложение2. Отображение является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Доказательство:
1. Пусть ,
и
где
и
.
Нужно показать, что . Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь , такую что
для
. (1)
С другой стороны рассмотрим дроби и
, такие что
для
. (2)
Из (1) и (2) следует, что .
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть ,
и
где
и
.
Нужно показать, что . Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь , такую что
для
. (3)
С другой стороны рассмотрим дроби и
, такие что
для
. (4)
Из (3) и (4) следует, что .
По свойству умножения смежных классов:
для
.
Таким образом гомоморфизм.
Пусть , тогда
т.е.
и
согласованы на некотором плотном идеале
значит
для
, так как
- плотный идеал, то
отсюда
- инъективно.
Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и
вкладывается в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом
в
.▲
Глава 3.
Определение5. Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал
. Если
, то элемент
назовём классической дробью, полагая
для
.
Теорема3. Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных
полукольца
.
Доказательство:
Рассмотрим отображение , т.е.
.
1. Докажем, что - отображение: если
и
,
, где
,
, то
.
Имеем
Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов
, т.е.
и
Тогда , домножим
на
получим
. Так как
и на
выполняется коммутативность по умножению, то
,
отсюда
для
.
2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
. Покажем, что дробь
согласована с
на плотном идеале
.
Пусть ,
.
для .
Следовательно .
2.2
.
Идеал содержит
, покажем, что
и
согласованы на плотном идеале
.
Пусть ,
. Тогда
для
.
Значит .
Таким образом - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных
в полное полукольцо частных
.
3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби
и
согласованы на некотором плотном идеале
, т.е. д