Содержание
- 1Обозначение
- 2Свойства
- 2.1Операциинадпустыммножеством
- 3Вдругихобластяхматематики
- 3.1Расширенныевещественныечисла
- 3.2Топология
- 3.3Теориякатегорий
- 3.4Теориямножеств
- 4Сомнительноесуществование
- 4.1Аксиоматическаятеориямножеств
- 4.2Философскиевопросы
- 5См. также
- 6Ссылки
- 7Дальнейшеечтение
- 8Внешнихссылок
Нотация[править]
Основнаястатья: Нулевойзнак
Символдляпустогонабора
Общиеобозначениядляпустогомножествавключают " {}", "{\displaystyle \emptyset }"и"∅". Последниедвасимволабыливведеныгруппой Бурбаки (вчастности, АндреВейлем) в 1939 году, вдохновленныебуквой Ø в датском и норвежском алфавитах.[3] Впрошлом "0" иногдаиспользовалосьвкачествесимволадляпустогомножества, нотеперьэтосчитаетсянеправильнымиспользованиемнотации.[4]
Символ∅доступенв точкеUnicode U+2205.[5] Онможетбытьзакодированв HTML как ∅ икак ∅. Онможетбытьзакодированв Латексе как \varnothing. Символ {\displaystyle \emptyset }кодируетсявLaTeXкак \emptyset.
Принаписаниинатакихязыках, какдатскийинорвежский, гдесимволпустогонабораможетбытьперепутансбуквеннойбуквойØ (какприиспользованиисимволавлингвистике), вместонегоможетиспользоватьсясимволUnicode U+29B0, ПЕРЕВЕРНУТЫЙПУСТОЙНАБОР⦰.[6]
Свойства[править]
Встандартной аксиоматическойтеориимножеств, согласно принципуэкстенсиональности, двамножестваравны, еслиониимеютодинаковыеэлементы. Врезультатеможетбытьтолькоодиннаборбезэлементов, отсюдаиспользование "пустогонабора", ане "пустогонабора".
Нижеперечисленынекоторыеизнаиболеезаметныхсвойств, связанныхспустымнабором. Дляполучениядополнительнойинформацииоматематическихсимволах, используемыхвнем, см. Списокматематическихсимволов.
Длялюбого набора A:
- Пустоемножество-этоподмножество A:
{\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A}
- Объединение A спустыммножествоместь A:
{\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}
- Пересечение A спустыммножествомявляетсяпустыммножеством:
{\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }
- Декартовопроизведение А ипустогомножестваявляетсяпустыммножеством:
{\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }
Пустойнаборимеетследующиесвойства:
- Егоединственнымподмножествомявляетсясампустойнабор:
{\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }
- Набор мощности пустогонабора-этонабор, содержащийтолькопустойнабор:
{\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}
- Числоэлементовпустогомножества (т. е. его мощность) равнонулю:
{\displaystyle \mathrm {|} \varnothing \mathrm {|} =0}
Однакосвязьмеждупустыммножествоминулемидетдальше: встандартном теоретико-множественномопределениинатуральныхчиселнаборыиспользуютсядля моделирования натуральныхчисел. Вэтомконтекстенольмоделируетсяпустыммножеством.
Длялюбого свойства P:
- Длякаждогоэлемента {\displaystyle \varnothing }имеетместосвойство Р (пустаяистина).
- Неттакогоэлемента{\displaystyle \varnothing }, длякоторого былобысправедливосвойство P.
Инаоборот, еслидлянекоторогосвойства P инекоторогомножества V справедливыследующиедваутверждения:
- Длякаждогоэлемента V выполняетсясвойство P
- Неттакогоэлемента V длякоторого былобысправедливосвойство P
затем {\displaystyle V=\varnothing.}
Поопределению подмножества, пустоемножествоявляетсяподмножествомлюбогомножества A. Тоесть каждый элемент x из {\displaystyle \varnothing }принадлежит A. Действительно, еслибынебылоистинно, чтокаждыйэлемент {\displaystyle \varnothing }находитсяв А, тобылбыпокрайнеймереодинэлемент{\displaystyle \varnothing }, которогонетв А. Так какнет элементов {\displaystyle \varnothing }вообще, тонетиэлемента{\displaystyle \varnothing }, которогонетв А. Любоеутверждение, начинающееся "длякаждогоэлемента{\displaystyle \varnothing }", неделаетникакихсущественныхпретензий; это пустаяистина. Эточастоперефразируетсякак "всевернодляэлементовпустогомножества."
Операциинадпустыммножеством
Говоряо сумме элементовконечногомножества, неизбежноприходишькусловию, чтосуммаэлементовпустогомножестваравнанулю. Причинаэтогозаключаетсявтом, чтонольявляется тождественнымэлементом длясложения. Точно также произведениеэлементовпустогомножестваследуетсчитать единицей (см.
Расстройство - это перестановка множествабез фиксированныхточек. Пустоемножествоможносчитатьрасстройствомсамогосебя, потомучтооноимееттолькооднуперестановку ({\displaystyle 0!=1}), исовершенноверно, чтониодинэлемент (пустогомножества) неможетбытьнайден, которыйсохраняетсвоепервоначальноеположение.
Вдругихобластяхматематики