Аксиоматическаятеориямножеств

В теориимножествЦермелосуществованиепустогомножестваобеспечивается аксиомойпустогомножества, аегоуникальностьвытекаетиз аксиомыэкстенсиональности. Однакоаксиомапустогомножестваможетбытьпоказанаизбыточнойпокрайнеймередвумяспособами:

• Стандартная логикапервогопорядка подразумевает, простоиз логическихаксиом, что нечто существует, инаязыкетеориимножествэтавещьдолжнабытьмножеством. Теперьсуществованиепустогомножествалегковытекаетиз аксиомыразделения.
• Дажеиспользуя свободнуюлогику (котораялогическинеподразумевает, чточто-тосуществует), ужесуществуетаксиома, подразумевающаясуществованиепокрайнеймереодногомножества, аименно аксиомабесконечности.

Философскиевопросы

Хотяпустоемножествоявляетсястандартнымиобщепринятымматематическимпонятием, оноостается онтологическим курьезом, значениеиполезностькоторогообсуждаютсяфилософамиилогиками.

Пустоемножество-этонетожесамое, чтоничто; скорее, этомножество, внутрикоторогоничего нет, амножество-этовсегда что-то. Этупроблемуможнопреодолеть, рассматриваянаборкакмешок—пустоймешок, несомненно, всеещесуществует. Дарлинг (2004) объясняет, чтопустоемножество-этоненичто, аскорее "множествовсехтреугольниковсчетырьмясторонами, множествовсехчисел, которыебольшедевяти, номеньшевосьми, имножествовсех начальныхходов в шахматах, вкоторыхучаствует король"^[8].

Популярный силлогизм

Нетничеголучшевечногосчастья; бутербродсветчинойлучше, чемничего; следовательно, бутербродсветчинойлучше, чемвечноесчастье

частоиспользуетсядлядемонстрациифилософскогоотношениямеждупонятиемничтоипустыммножеством. Дарлингпишет, чтоконтрастможноувидеть, переписываяутверждения "Нетничеголучшевечногосчастья" и "Бутербродсветчинойлучше, чемничего" математическимтоном. СогласноДарлингу, первоеэквивалентно "Наборувсехвещей, которыелучше, чемвечноесчастье{\displaystyle \varnothing }", авторое - "Набору {бутербродсветчиной} лучше, чемнабор {\displaystyle \varnothing }". Первыйсравниваетэлементынаборов, втовремякаквторойсравниваетсаминаборы.

ДжонатанЛоу утверждает, чтовтовремякакпустоемножество:

"был, несомненно, важнойвехойвисторииматематики... мынедолжныпредполагать, чтоегополезностьввычислениизависитотегофактическогообозначениякакого-либообъекта."

этотакжетотслучай, когда:

"Все, чтомыкогда-либознаемопустоммножестве, этото, чтооно (1) являетсямножеством, (2) неимеетчленови (3) уникальносредимножествтем, чтонеимеетчленов. Однакосуществуеточеньмноговещей, которые "неимеютчленов" втеоретико-множественномсмысле, аименновсене—множества. Совершенноясно, почемуэтивещинеимеютчленов, ибоонинеявляютсямножествами. Неяснотолько, какможетсуществоватьуникальноесредимножеств множество, неимеющеечленов. Мынеможемвызватьтакуюсущностьксуществованиюпростымусловием."^[9]

ДжорджБулос утверждал, чтомногоеизтого, чтобылодосихпорполученотеориеймножеств, можетбытьтакжелегкополученопутем множественнойквантификации надиндивидами, без овеществления множествкакединичныхсущностей, имеющихдругиесущностивкачествечленов.^[10]

См. Также[править]

• 0 – Число
• Обитаемоемножество – Видмножествавконструктивнойматематике
• Ничто – Понятие, обозначающееотсутствиечего-либо
• Степенноемножество – математическоемножество, содержащеевсеподмножестваданногомножества

Ссылки[править]

1. ^ Перейтик: ^ab "Полныйсписоксимволовтеориимножеств". Математическоехранилище. 2020-04-11. Проверено 2020-08-11.
2. ^ Перейтик: ^ab Вайнштейн, ЭрикУ. "Пустоемножество". математическиймир.wolfram.com... Получено 2020-08-11.
3. ^ Раннееиспользованиесимволовтеориимножествилогики.
4. ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципыматематическогоанализа (3-еизд.). Макгроу-Хилл, стр. ISBN 007054235X.
5. ^ СтандартUnicode 5.2
6. ^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) FonetikogFonologi: Almenogdansk. Akademiskforlag, Copenhagen.
7. ^ Bruckner, A. N., Bruckner, J. B., and Thomson, B. S. (2008). Элементарныйреальныйанализ, 2-еиздание, с. 9.
8. ^ Перейтик: ^ab ДиДжейДарлинг (2004). Универсальнаякнигапоматематике. ДжонУайлиисыновья. стр. 106. ISBN 0-471-27047-4.
9. ^ Э. Дж.Лоу (2005). Локк. Рутледж, стр.
10. ^ George Boolos (1984), "To be is to be the value of a variable", The Journal of Philosophy 91: 430-49. Переизданов 1998 году, Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) HarvardUniversityPress, 54-72.

Дальнейшеечтение[править]

• Халмос, Пол, Наивнаятеориямножеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (изданиеSpringer-Verlag). ПерепечатаноМартиноФайнБукс, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (изданиевмягкойобложке).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Грэм, Малкольм (1975), Современнаяэлементарнаяматематика (2-еизд.), ХаркортБрейсЙованович, ISBN 0155610392

Внешниессылки

• Вайнштейн, ЭрикУ. "ПустойНабор". MathWorld.

https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_set