Передаточная функция 
любой электрической цепи с постоянными сосредоточенными параметрами является дробно-рациональной функцией комплексной частоты 
, а квадрат ее модуля 
- функцией 
. Задача аппроксимации частотной характеристики реального электрического фильтра состоит в выборе такого вида этой функции, который наиболее близок к характеристике соответствующего идеального электрического фильтра.
Пусть 
- аппроксимирующая функция, а 
- нормированная частота. Задача построения оптимальной частотной характеристике сводится к построению такой функции 
, значения которой в полосе пропускания отличаются от единицы на сколь угодно малую наперед заданную величину, а в пределах полосы заграждения - резко уменьшаются с ростом частоты. Поставленным условиям удовлетворяет дробь вида:
, (8.3)
где 
- полином степени 
, модуль которого не превосходит единицы в полосе пропускания и монотонно возрастает в полосе задерживания, 
- число, характеризующее неравномерность частотной характеристики в полосе пропускания. Если полиномы нормированы на единицу, то в полосе пропускания:
. (8.4)
Тогда максимальное ослабление сигнала в пределах полосы пропускания электрического фильтра (неравномерность АЧХ фильтра) связано с соотношениями:
или 
. (8.5)
Так при неравномерности АЧХ в 3 дБ, 
.
В полосе задерживания значение 
уменьшается тем быстрее, чем выше степень полинома . Если ввести нормированную граничную частоту полосы заграждения 
, то величина минимального ослабления в пределах полосы заграждения электрического фильтра будет составлять:
. (8.6)
По заданным 
, 
, 
и виду полиномов можно определить степень , обеспечивающую требуемый спад частотной характеристики в пределах полосы заграждения.
Одно из решений задачи аппроксимации частотной характеристики состоит в выборе в качестве полиномов степенной функции 
[6]. Тогда квадрат модуля аппроксимирующей функции для реального фильтра нижних частот имеет вид:
. (8.7)
Подобный вид аппроксимации определяет фильтры с максимально плоскими характеристиками, или фильтры Баттерворта.
На рисунке 8.6 представлены графики аппроксимирующих функций для реального ФНЧ, заданных выражением (8.7), для различных порядков аппроксимирующих полиномов.
Рисунок 8.6 - Вид аппроксимирующей функции для реального ФНЧ при выборе в качестве полиномов степенной функции со степенью полинома от 1 до 4
Из рисунка видно, что с ростом степени полинома начальная часть кривых, соответствующая полосе пропускания электрического фильтра, становится все более плоской, а в полосе заграждения – значения аппроксимирующей функции уменьшаются, тем самым приближается к частотной характеристики идеального ФНЧ.
Другой подход связан с использованием в качестве полиномов полиномов Чебышева 
[6], определяемых при 
общим соотношением 
. Так, например, 
, 
, 
, 
и т. д. Известно, что из всех полиномов степени с одинаковыми старшими коэффициентами полином Чебышева наименее всего отклоняется от нуля на отрезке от -1 до 1, где он принимает максимальные и минимальные значения 
. Такое свойство полиномов Чебышева определяет равноколебательный характер аппроксимирующей функции, которая в полосе пропускания колеблется между 
и 1. Число экстремумов аппроксимирующей функции в полосе пропускания равно степени полинома . С увеличением степени полинома спад частотной характеристики в полосе заграждения увеличивается, и она также приближается к частотной характеристике идеального ФНЧ.
На рисунке 8.7 представлены графики аппроксимирующих функций для реального ФНЧ для различных порядков аппроксимирующих полиномов. Подобная аппроксимация носит название равноколебательной, а соответствующие фильтры называются фильтрами Чебышева.
Рисунок 8.7 - Вид аппроксимирующей функции для реального ФНЧ при использовании полиномов Чебышева со степенью полинома от 1 до 4
Из сравнения максимально плоских и равноколебательных характеристик, отвечающих одним и тем же значениям и следует, что в полосе задерживания вторая характеристика убывает быстрее. Это соотношение носит общий характер. А поскольку степень полинома определяет число реактивных элементов в схеме электрического фильтра, то заданное ослабление в полосе заграждения обеспечивается при равноколебательной аппроксимации более простой схемой с меньшим числом реактивных элементов, чем при максимально плоской аппроксимации.
ПРИМЕР
Рассмотрим Т-образный фильтр нижних частот, нагруженный на некоторое известное сопротивление 
.
Несогласованный Т-образный фильтр нижних частот
Определим комплексный коэффициент передачи напряжения такой цепи. Входное сопротивление цепи равно:
.
Входной ток, согласно закону Ома для комплексных амплитуд, равен:
.
Тогда напряжение на емкости равно:
.
Тогда ток в нагрузке равен:
.
Окончательно, напряжение в нагрузке равно:
.
Тогда согласно определению комплексной функции цепи:
,
а квадрат ее модуля:
, или же
.
Приравняем это выражение к аппроксимирующей функции максимально плоского фильтра 3-го порядка:
.
Из сравнения коэффициентов при одинаковых степенях частоты получаем систему уравнений вида:
Из второго уравнения системы находим, что 
, а из первого - 
. Комбинируя полученные выражения находим, что 
и 
. Подставляя данные выражения в третье уравнение системы приходим к следующему результату: 
или же 
. Тогда 
или же 
. Величина же емкости оказывается равной 
.
Если использовать для сравнения равноколебательную аппроксимирующую функцию фильтра третьего порядка вида:
,
то аналогичные выкладки приводят к другим параметрам схемы: 
, 
, 
.
Очевидно, что подобная процедура определения параметров пассивных фильтров весьма громоздка, однако все вычисления имеют стандартный характер. Задача определения параметров упрощается для активных фильтров с каскадной структурой, в которой передаточные функции отдельных каскадов не влияют друг на друга и могут быть проанализированы по отдельности.
Операционный усилитель
В настоящее время основными аналоговыми функциями принято считать: усиление, сравнение, ограничение, перемножение и частотную фильтрацию сигналов и пр. Каждая из этих функций, вообще говоря, выполняется особым классом аналоговых интегральных микросхем (ИМС). Однако все эти специализированные ИМС, как правило, происходят от основного, наиболее универсального и многофункционального узла - операционного усилителя (ОУ). На его основе строятся такие нелинейные схемы, как стабилизатор, компаратор напряжений, пороговое устройство, инвертирующий, дифференцирующий или интегрирующий усилители [7].
Операционным усилителем принято называть усилитель постоянного тока с дифференциальным входом и однотактным выходом, характерный высоким коэффициентом усиления, а также большим входным и малым выходным сопротивлениями [8]. Условное обозначение ОУ показано на рисунке 8.8.
Рисунок 8.8 - Условное обозначение операционного усилителя
Сигнал не обязательно должен быть дифференциальным, его можно подавать на один из входов ОУ, заземляя второй (соединяя его с общим выводом). В зависимости от полярности сигналов на выходе и входе один из входов называют инвертирующим (обозначается «-»), а другой неинвертирующим (обозначается «+»). Иногда инвертирующий вход обозначается кружком, как и в логических инверторах (рисунок 8.8).
Вход ОУ называется инвертирующим, если при соединении второго входа с корпусом напряжения на входе и выходе ОУ противофазные. Если эти напряжения синфазные, то соответствующий вход ОУ называется неинвертирующим.
Выходное напряжение операционного усилителя определяется разностью напряжений на неинвертирующем 
и инвертирующем 
входах, умноженной на положительный коэффициент усиления 
. На практике ОУ, чаще всего, бывает охвачен цепью глубокой обратной связи. Именно в совокупности с цепями обратной связи ОУ выполняет разнообразные операции, откуда и происходит его название.
При определенных условиях коэффициент усиления схемы зависит только от параметров цепи обратной связи и не зависит от параметров самого ОУ (коэффициент усиления ОУ должен намного превышать желательный коэффициент усиления схемы).
С ростом частоты величина коэффициента усиления ОУ неизбежно уменьшается [7], что приводит к нарушению данного условия. Поэтому чем выше граничная частота коэффициента усиления ОУ, тем в более широком диапазоне частот коэффициент усиления схемы не зависит от параметров самого ОУ.
Интегральный ОУ, помимо входных и выходных зажимов имеет выводы для подачи двухполярного напряжения питания. Иногда ОУ также имеет дополнительные выводы для коррекции частотных характеристик и балансировки (для коррекции напряжения смещения).
К числу параметров ОУ относятся [7 - 9]:
1. коэффициент усиления (обычно составляет порядка 104 - 106) – показывает во сколько раз напряжение на выходе ОУ больше разности напряжений, поданных на неинвертирующий и инвертирующий входы;
2. напряжение смещения (от нескольких мкВ до нескольких мВ) – напряжение, которой необходимо подать на один из входов ОУ (при замыкании второго на корпус), чтобы напряжение на выходе ОУ равнялось нулю;
3. средний входной ток (имеет порядок мкА для ОУ с биполярными транзисторами во входных цепях и порядок нА с МДП транзисторами во входных цепях).
4. Кроме того, конечно, указываются напряжения питания, потребляемые ток и мощность, максимальные входные и выходные напряжения, максимальный выходной ток и некоторые другие.
5. Входное и выходное сопротивления не всегда включают в число основных параметров, но о них можно судить по значениям входных и выходных токов. Входное сопротивление может достигать значений в 100 МОм, а выходное – 100 Ом [9].
6. К параметрам ОУ относят также характеристики, описывающие его быстродействие. К таковым относятся частота единичного усиления, при которой коэффициент усиления ОУ без обратной связи падает до значения 1.
Интерес к активным RC-фильтрам вызван, прежде всего, требованиями миниатюризации аппаратуры. Такие устройства представляют собой электрические фильтры, состоящие из емкостей, сопротивлений и операционных усилителей, которые могут быть выполнены в интегральном исполнении. Сопротивление нагрузки, включаемой на выходе активных фильтров, как правило, во много раз превышает их выходное сопротивление. Таким образом, фильтрующие свойства таких цепей не зависят от величины нагрузки [10] и при анализе таких электрических фильтров можно полагать, что они работают в режиме холостого хода.