Последовательность выполнения задания.

1. Ознакомьтесь с понятиями и положениями вероятностно-статистических методов обработки экспериментальных данных.

2. Запишите постановку задачи применительно к своему варианту задания. Уясните цель задачи.

3. Выполните корреляционный анализ результатов эксперимента.

4. Выполните регрессионный анализ данных эксперимента. Полученное уравнение регрессии проверьте на адекватность.

5. Запишите выводы о результатах выполненных анализов.

Содержание отчета

 

1. Название темы практической работы.

2. Постановка задачи построения эмпирической зависимости методом корреляционно-регрессионного анализа.

3. Методика проведения корреляционного анализа.

4. Методика проведения регрессионного анализа.

 

Контрольные вопросы для самопроверки

1. В чем отличие стохастической связи между случайными величинами от функциональной?

2.. Что объединяет и что различает корреляционную и стохастическую связи между случайными величинами?

3. Какие три вопроса исследуют с помощью корреляционного анализа?

4. Что характеризует коэффициент корреляции? Какие значения он может принимать?

5. Что оценивает корреляционное отношение? Какие значения может принимать корреляционное отношение?

6. Какую задачу решают с помощью регрессионного анализа? Какие процедуры включает в себя регрессионный анализ?

7. В чем сущность проверки на адекватность полученной регрессионной зависимости?

 

Литература

 

1. Основы научных исследований: Учебник для вузов / под ред. В. Г. Кучерова / ВолгГТУ. Волгоград, 2004. 304 с.

2. Кацев П. Г. Статистические методы исследования стойкости режущего инструмента / П. Г. Кацев. - М.: «Машиностроение», 1974. – 231 с.

3. Солонин И. С. Математическая статистика в технологии машиностроения / И. С. Солонин. - М.: «Машиностроение», 1972. – 216 с.

 

Приложение. Значения F -критерия Фишера при уровне значимости α =0,05

 

f 1		2								∞
f 2
	161,4	199,5	215,7	224,5	230,1	233,9	238,8	243,9	249,0	254,32
	18,51	19,00	19.16	19,25	19,30	19.33	19,37	19.41	19,45	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62

Пример оформления отчета выполнения задания

Практическая работа №2.

Выполнил Фамилия И. О.

Тема 2. Вероятностно-статистические методы обработки результатов эксперимента. Корреляционно-регрессионный анализ

Опытных данных

Задача. Выдвинута рабочая гипотеза: «При точении стали ЭИ 107 между высотой неровностей R_z и подачей s существует стохастическая связь, которая может быть описана уравнением регрессии вида ». Для проверки достоверности этой гипотезы выполнены экспериментальные исследования, результаты которых приведены в таблице 1

 

Таблица 1. Результаты эксперимента по исследованию влияния подачи s

на величину неровностей R_z при точении стали ЭИ 107

 

Подача s, мм/об	Высота неровностей Rz, мкм
опыт 1	опыт 2	опыт 3	опыт 4	опыт 5
0,12	5,2	3,1	7,3	2,3	6,0
0,28	9,1	8,2	12,3	14,0	7,1
0,44	21,1	17,3	15,8	10,7	12,4
0,60	33,3	28,5	40,1	30,2	23,3
0,76	51,9	55,4	42,6	45,1	38,5
0,92	75,6	76,2	73,1	76,5	75,5

 

Произвести статистическую обработку экспериментальных данных и сделать заключение о достоверности выдвинутой рабочей гипотезы. При подтверждении гипотезы о наличии связи между параметром и фактором режима обработки построить уравнение регрессии и проверить его на адекватность.

 

Решение.

1. Выполним корреляционный анализ. Этот анализ позволяет установить:

- существует ли связь между случайными величинами y и x?

- какова сила этой связи?

- какую форму имеет связь, т. е. является она линейной или нелинейной (криволинейной)?

Для ответа на поставленные вопросы вычислим коэффициент корреляции r по формуле .

Поскольку для каждого значения фактора s опыт в эксперименте повторялся 5 раз, то предварительно найдем средние значения исследуемого параметра R_z, его общее среднее и среднее фактора s Здесь и далее фактор s и параметр R_z будем обозначать через переменные x и y соответственно.

Для выполнения различных вычислений используем табличный процессор Excel. Копируя таблицу 1 на рабочий лист Excel и используя его статистические функции, получим

 

Таблица 2. Результаты расчета . ; .

 

Подача s, мм/об	Высота неровностей Rz, мкм
опыт 1	опыт 2	опыт 3	опыт 4	опыт 5
0,12	5,2	3,1	7,3	2,3	6,0	4,78
0,28	9,1	8,2	12,3	14,0	7,1	10,14
0,44	21,1	17,3	15,8	10,7	12,4	15,46
0,60	33,3	28,5	40,1	30,2	23,3	31,08
0,76	51,9	55,4	42,6	45,1	38,5	46,70
0,92	75,6	76,2	73,1	76,5	75,5	75,38

 

Подставляя полученные данные в формулу коэффициента корреляции, найдем r = 0,95. Полученное значение r указывает, что гипотеза о наличии связи между величиной неровностей R_z и подачей s является достоверной.

 

2. Выполним регрессионный анализ. Задачей этого анализа является построение уравнения регрессии y = f (x), описывающего зависимость исследуемого параметра y от фактора x. В нашей задаче зависимость высоты неровностей R_z от подачи s.

Методика регрессионного анализа предусматривает выполнение следующих процедур.

а) построение корреляционного поля. Эта процедура сводится к нанесению в плоскости XY точек результатов эксперимента. В случае большого объема экспериментальных данных (что имеет место в рассматриваемой задаче) вместо корреляционного поля по средним значениям параметра строится эмпирическая линия регрессии. Для этого на плоскости XY наносят точки средних значений , (i = 1, 2,…, n) и соединяют их отрезками прямых линий. Полученная ломаная линия является эмпирической линией регрессии. Ее вид позволяет принять решение о виде теоретической регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.

Выполнив эту процедуру с помощью Excel, получим приведенный на рисунке график.

б) исходя из расположения опытных точек, уравнение регрессии зададим в виде .

в) определение коэффициентов уравнения регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии воспользуемся методом выбранных точек. Так как уравнение содержит три неизвестных коэффициента, то достаточно задать координаты трех точек. Выберем точки (0,12; 4,78), (0,6; 31,08) и (0,92; 75,38). Подставив координаты этих точек в выбранное уравнение регрессии, получим систему линейных алгебраических уравнений

Решая эту систему методом Гаусса, находим . Таким образом, зависимость высоты неровностей R_z от подачи s имеет вид .

 

Выполним дисперсионный анализ. Цель анализа заключается в проверке адекватности полученной теоретической регрессионной зависимости с использованием критерия Фишера. Последний вычисляется по формуле , где – дисперсия адекватности; – средняя дисперсия всех результатов эксперимента. Эти дисперсии определяются по формулам

; ,

в которых y_{i Т}, y_{i э} – теоретические и опытные значения параметра y в i - й группе; , - опытное среднее арифметическое значение параметра y в i - й группе;

d – количество коэффициентов теоретического уравнения регрессии.

Подставляя в формулы дисперсий данные таблицы 2 и вычисленные по уравнению регрессии теоретические значения y_{i Т}, получим ; .

Следовательно, , что значительно меньше табличного значения критерия Фишера .

Таким образом, уравнение регрессии является адекватным и может быть использовано для прогнозирования высоты неровностей при обработке деталей в диапазоне исследованных значений подачи.

 

Выводы. Результаты статистической обработки результатов экспериментальных исследований позволяют сделать следующие выводы.

1. Подтверждена рабочая гипотеза о наличии связи между высотой неровностей R_z и подачей s при точении стали ЭИ 107.

2. Уравнение регрессии между высотой неровностей R_z и подачей s имеет вид , адекватность которого подтверждена результатом проверки по критерию Фишера.