Практическая работа №2
2018/2019 уч. г.
Тема. Вероятностно-статистические методы обработки результатов эксперимента. Корреляционно-регрессионный анализ опытных данных
Цель работы: освоениезнаний, умений и приобретение навыков применения вероятностно-статистических методов обработки результатов экспериментального исследования задач в области конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств.
В результате выполнения заданий практической работы студент должен:
знать
- виды связей между параметрами и факторами объектов технологических процессов;
- сущность вероятностно-статистических методов обработки результатов экспериментального исследования;
Уметь
- разрабатывать методику корреляционно-регрессионного анализа опытных данных;
- осуществлять построение эмпирических зависимостей по результатам экспериментальных исследований объектов конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств;
Владеть
- навыками построения эмпирических зависимостей и проверки их адекватности.
Краткие теоретические сведения.
Связи в объектах технологических процессов
В области технологии машиностроения обычно оперируют с параметрами процессов механической обработки, являющимися случайными величинами. Случайными величинами являются, например, свойства обрабатываемых заготовок (твердость материала, размеры), показатели качества поверхностного слоя деталей (шероховатость, упрочнение, остаточные напряжения) и др. Поэтому при решении задач конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств широко используются вероятностно-статистические методы (рисунок 1).
Одной из основных задач экспериментальных исследований является задача нахождение связей между параметрами и факторами процессов и явлений, лежащих в основе их развития, и описание этих связей в математической форме. Различают три вида связей между параметром (функцией y) и факторами (независимыми переменными x 1, x 2, x 3,…, xn,) процессов и явлений: функциональные, стохастические и корреляционные.
 |
Функциональнаясвязь – это такая связь, когда величина y определяется как однозначная функция одной или нескольких величин x 1, x 2,…, xn.
Стохастическая (вероятностная) связь. Эта связь обнаруживается при многократном проведении наблюдений (опытов), когда каждому заданному набору значений x 1, x 2,…, xn соответствует не одно определенное значение у, а множество значений. Это множество значений случайной величины, расположенных в возрастающем порядке с указанием их вероятностей, называется распределением случайной величины. Распределение случайных величин характеризуется рядом параметров, определяющих положение центра группирования значений случайной величины (математическое ожидание, среднее арифметическое значение, медиана и мода) и ее рассеивание около этого центра (дисперсия, среднее квадратическое отклонение и размах).
При наличии определенных условий и физической сущности случайных величин распределение их значений может подчиняться вполне определенным законам (закону нормального распределения, эксцентриситету, закону модуля разности и др.).
Корреляционная связь. Понятие корреляционной связи между двумя случайными величинами является более узким, чем понятие стохастической связи, поскольку она отражает характер изменения только математического ожидания или среднего значения одной случайной величины при изменении другой случайной величины.
Выявление стохастических связей между параметрами и факторами объекта исследования осуществляют корреляционным анализом.
Корреляционный анализ позволяет решить следующие вопросы:
1. Существует ли связь между случайными величинами y и x?
2. Какова сила этой связи?
3. Какую форму имеет связь, т. е. является она линейной или нелинейной (криволинейной)?
Для получения ответов на эти вопросы и, следовательно, подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу о наличии связи между случайными величинами y и x вычисляют две статистические характеристики - коэффициент корреляции и корреляционное отношение.
Коэффициент корреляции является показателем того, насколько связь между случайными величинами y и x близка к строгой линейной зависимости. С точки зрения наличия связи и формы связи коэффициент корреляции в одинаковой степени характеризует и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность имеющейся связи.
Поскольку в исследованиях имеют дело с данными выборки из генеральной совокупности, то вычисляют выборочный коэффициент корреляции r по формуле:
,
где r – коэффициент корреляции величин x и y; xi и yi - измеренные значения случайных величин, например фактора x и параметра y изучаемого объекта; 
и 
– средние арифметические значения величин x и y; n – число измерений (опытов).
Значения r заключены между -1 и 1.
Коэффициент корреляции оценивает тесноту только линейной корреляционной связи. Оценка тесноты любой корреляционной связи осуществляется с помощью корреляционного отношения.
Выборочное корреляционное отношение – это отношение межгруппового среднего квадратического отклонения 
к общему среднему квадратическому отклонению 
, где 
; 
,
в которых m – число выделенных групп результатов испытаний.
Значения η заключены между 0 и 1.
Корреляционное отношение является мерой тесноты любой, в том числе и линейной, формы. Вместе с тем корреляционное отношение не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного типа - параболе, гиперболе и т. д.
Регрессионный анализ
Задачей регрессионного анализа является установление вида эмпирических зависимостей, отражающих связи между характеристиками изучаемого объекта, и оценку адекватности построенных зависимостей. При наличии корреляционной зависимости между y и x в виде уравнения
y = f (x)
его принято в регрессионном анализе называть уравнением регрессии y на x, функцию f (x) – регрессией y на x.
Различают однофакторную и многофакторную регрессионные зависимости. Однофакторная регрессия может быть аппроксимирована прямой линией, параболой, гиперболой, показательной функцией, полиномом и др. Если параметр y является функцией от нескольких факторов, ее графическое представление будет иметь вид n ‑мерной поверхности.
Методика однофакторного регрессионного анализа включает в себя выполнение следующих процедур.
· Построение корреляционного поля. Эта процедура сводится к нанесению в плоскости XY точек результатов эксперимента.
· Проведение визуального анализа полученного поля. По тесноте и характеру расположения точек можно ориентировочно судить о виде регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.
В случае большого объема экспериментальных данных вместо корреляционного поля строится эмпирическая линия регрессии. Для этого диапазон изменения фактора x разбивается на произвольное число равных интервалов. Для каждого интервала определяется среднее значение исследуемого параметра y
, i = 1, 2, …, n,
где 
- среднее арифметическое значение параметра y в i - й группе;
yij - j -е значение параметра y в i – й группе; n – число групп, m – число значений параметра y в i - й группе.
Далее на плоскости XY наносят точки средних значений 
, 
(i = 1, 2,…, n) и соединяют их отрезками прямых линий. Полученная ломаная линия является эмпирической линией регрессии. Ее вид позволяет принять решение о виде теоретической регрессионной зависимости между параметром y и его фактором x.
· Аппроксимация в соответствии с видом эмпирической линии регрессии ее теоретической регрессионной зависимостью, например
линейной 
;
параболой второго порядка 
;
параболой третьего порядка 
;
гиперболой 
и др.
· Определение неизвестных коэффициентов ai выбранной регрессионной зависимости. Обычно определение коэффициентов регрессионной зависимости осуществляют методом наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений теоретических значений исследуемого параметра от экспериментальных должна быть минимальной.
· Проверка адекватности теоретической регрессионной зависимости. Она в зависимости от условий (малый или большой объем выборки и др.) может осуществляться с использованием критериев Фишера (для малых выборок), Пирсона, Романовского и др.
Сущность проверки на адекватность заключается в сопоставлении результатов расчета по полученной теоретической модели исследуемого параметра объекта с экспериментальными данными. Для этого рассчитывается экспериментальное (опытное) значение критерия, например, Фишера k э и сравнивается с его теоретическим (табличным) k т, выбираемым при требуемой доверительной вероятности p (обычно p = 0,95). Если k э< k т – модель адекватна, в противном случае – модель неадекватна.
Опытное значение критерия Фишера k э вычисляется по формуле
,
где 
– дисперсия адекватности; 
– средняя дисперсия всех результатов эксперимента. Эти дисперсии определяются по формулам:
; 
,
в которых yi Т, yi э – теоретические и опытные значения параметра y в i – й группе; 
, - опытное среднее арифметическое значение параметра y в i – й группе; d – число коэффициентов теоретического уравнения регрессии.
Значение k т принимается из таблицы, приводимой во многих литературных источниках по математической статистике. Входными данными для выбора теоретического значения критерия Фишера являются уровень доверительной вероятности p и числа f 1, f 2 степеней свободы, определяемые как f 1 = n - d и f 2= n (m -1).
Задание
Выдвинута рабочая гипотеза: «При обработке деталей между параметром y и фактором x существует корреляционная связь, которая может быть описана уравнением регрессии вида 
(приводится полная запись уравнения своего варианта работы № 1)». Для проверки достоверности этой гипотезы выполнены экспериментальные исследования, результаты которых приведены в таблице (приводится таблица результатов исследований своего варианта задания, выполненного на практическом занятии № 1).
Произвести статистическую обработку экспериментальных данных и сделать заключение о достоверности выдвинутой рабочей гипотезы.