Однофакторный дисперсионный анализ




Практическая работа №3

2018/2019 уч. г.

Тема. Вероятностно-статистические методы обработки результатов эксперимента. Дисперсионный анализ

Цель работы: освоениезнаний, умений и приобретение навыков применения дисперсионного анализа результатов экспериментального исследования задач в области конструкторско-технологической подготовки машиностроительных производств.

 

В результате выполнения заданий практической работы студент должен:

знать

- сущность дисперсионного анализа и его задачи;

Уметь

- разрабатывать методики однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа опытных данных;

- составлять программы выполнения дисперсионного анализа в среде Excel;

Владеть

- навыками проверки гипотез о влиянии факторов на параметр исследуемого объекта технологического процесса способом однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализов.

Однофакторный дисперсионный анализ

 

Задачей дисперсионного анализа является установление влияния факторов на параметр объекта исследования. Различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ.

Независимо от вида дисперсионного анализа, его сущность заключается в разложении общей дисперсии параметра на отдельные составляющие, обусловленные действием отдельных факторов и их взаимодействий, а также действием случайных причин и оценке существенности влияния на параметр каждого из факторов.

Приведем последовательность операций однофакторного дисперсионного анализа при решении следующей задачи.

 

Задача 1. Имеется единичный фактор x, который принимает n различных уровней (значений). Пусть на каждом i уровне фактора x выполнено m наблюдений (опытов) и определены в каждом j наблюдении значения yij параметра y, так что общее число значений параметра y N=nm. Результаты наблюдений представлены в таблице 1 в виде множества значений yij (i= 1, 2,…, n; j= 1, 2,…, m).

Проверить достоверность рабочей гипотезы: «Фактор x имеет существенное влияние на параметр y ».

 

Таблица 1. Результаты исследований влияния фактора х на параметр y

Фактор х Параметр y
опыт 1 опыт 2 опыт j опыт m
х 1 y 11 y 12 y 1 j y 1 m
х 2 y 21 y 22 y 2 j y 2 m
хi yi1 yi 2 yij yim
хn yn1 yn 2 ynj ynm

 

Решение.

1. Графическое отображение результатов эксперимента. Визуальный анализ полученного корреляционного поля и линии тренда позволяет сделать предварительное заключение о достоверности (недостоверности) выдвинутой гипотезы.

2. Заметим, что общее отклонение значений yij параметра у от его общего среднего арифметического равно сумме отклонения , обусловленное влиянием фактора x, и отклонения , вызванное действием случайных причин, т. е.

, (1)

где - общее среднее параметра у; - среднее параметра у на i -м уровне фактора x (i = 1, 2, …, n).

3. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат и, суммируя по i и j, получим

=

= . (2)

4. Вычисление общей дисперсии параметра y. Левая часть уравнения (2) представляет собой сумму квадратов отклонений от среднего арифметического результатов yij, обусловленных влиянием фактора x и действием случайных причин. Число независимых отклонений значений yij параметра у от его среднего значения (число степеней свободы вариации) равно N – 1, где N = nm; последнее отклонение выражается через все предыдущие. Следовательно, общая дисперсия параметра y вычисляется по формуле

.

Она характеризует рассеяние опытных данных yij относительно их среднего , вызванное влиянием фактора x и действием случайных причин.

 

5. Вычисление дисперсии параметра y, вызванной влиянием фактора x. Эта дисперсия определяется первым членом правой части уравнения (2), т. е. суммой квадратов отклонений средних на i – х уровнях фактора x от общего среднего . Число таких независимых отклонений составляет n -1, т.к. имеет место n независимых средних . Следовательно,

.

6. Вычисление дисперсии параметра y, вызванной влиянием случайных причин. Эта дисперсия определяется вторым членом правой части уравнения (2), т. е. суммой квадратов отклонений значений yij от средних внутри уровней фактора x. Число таких независимых отклонений составляет N-n. Следовательно,

.

7. Оценка степени влияния фактора на параметр объекта. Осуществляется с помощью критерия Фишера F. Критерий Фишера является отношением дисперсии, обусловленной влиянием фактора, к дисперсии, вызванной действием случайных причин (остаточной дисперсии)

.

Задавшись доверительной вероятностью (или уровнем надежности) и имея степени свободы критерия (числа в знаменателях для : f 1= n -1 и : f 2= n (m -1)), находят табличное F табл значение критерия. Если F > F табл, то с заданным уровнем надежности можно заключить, что влияние фактора x на изменчивость параметра y объекта существенно.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-02 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: