РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ
Для приведения плоской произвольной системы сил, как угодно расположенных на плоскости, к одному центру используем следующую теорему: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Для доказательства данной теоремы рассмотрим тело, на которое действует сила F, приложенная в точке А (рис. 1.17).Если в любой другой точке тела В мы приложим две уравновешенные силы 
и 
, такие, что 
, a 
, то действие силы F на тело не изменится. Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную F, но приложенную в точке В, и пару 
с моментом
Пользуясь указанной теоремой, перенесем все силы 
, 
,..., 
, действующие на твердое тело, в одну произвольную точку плоскости О (рис. 1.19, а), которую назовем центром приведения. В результате на тело будет действовать система сил 
, 
, 
, приложенных в центре О, и система пар, моменты которых
Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой R, приложенной в том же центре и равной
или на основе равенства 
Аналогично все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости и равной
Вектор R, равный геометрической сумме всех сил данной системы, называется главным вектором системы; величина 
, равная сумме моментов всех сил системы относительно какой-либо точки, называется главным моментом данной системы сил относительно этой точки.
Таким образом, всякая плоская система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (рис. 1.19, б). Очевидно, что две системы сил, имеющих одинаковые главные векторы и главные моменты, статически эквивалентны, и для задания плоской системы сил достаточно задать ее главный вектор R и главный момент М относительно некоторого центра.
Рис. 1.19 Приведение плоской произвольной системы сил к одному центру
Следует отметить, что сила R заменяет данную систему сил не одна, а вместе с парой, поэтому ее нельзя считать равнодействующей. Величина R может быть найдена или геометрически построением силового многоугольника (рис. 1.19, в), или аналитически по формулам
где 
, 
— проекции сил на соответствующие оси координат.
От выбора центра О величина R не зависит. Значение М определяется положением центра О, поэтому необходимо обязательно указывать, относительно какого центра вычислен главный момент.
Для равновесия системы сил, как угодно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно произвольно выбранного центра приведения этой системы равнялись нулю:
Указанные условия являются необходимыми, так как если любое из них не выполняется, то действующая система сил приводится к равнодействующей (
) или к паре (
) и, следовательно, не является уравновешенной. Одновременно эти же условия являются достаточными, так как при 
система может приводиться только к паре с моментом 
, а поскольку 
, то имеет место равновесие.
Рассмотрим различные формы аналитических условий равновесия.
1. Из приведенных выше соотношений следует, что R может равняться нулю только при условии 
, 
, а , когда
Следовательно, можно записать следующие аналитические условия равновесия:
Для равновесия плоской системы как угодно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю как сумма проекций всех сил на каждую из двух любых координатных осей, лежащих в плоскости действия сил, так и сумма алгебраических величин моментов всех сил относительно любой точки той же плоскости.
2. Для равновесия системы сил, как угодно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно каких-либо центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпендикулярную прямой АВ, были равны нулю:
Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из них не выполняется, то или 
, или 
и равновесия не будет. Достаточность же этих уравнений следует из того, что если бы равнодействующая существовала, то линия ее действия должна была бы проходить через точки А и В. Но в этом случае проекция равнодействующей 
на ось x, не перпендикулярную к прямой АВ, не может равняться нулю.
3. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно любых трех центров А, В, С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
Необходимость этих условий также очевидна, так как если любое из них не выполняется, то 
или 
, 
и равновесия не будет.
Достаточность условий следует из того, что если при одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В, С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении этих условий имеет место равновесие.
Из всех рассмотренных случаев равенства условия 1 являются основными условиями равновесия, так как при пользовании ими никаких ограничений на выбор координатных осей и центра момента на накладывается. Если все действующие на тело силы параллельны друг другу, то ось Ох можно направить перпендикулярно к силам, а ось Оy параллельно им (рис. 1.20). Тогда проекции всех сил на ось Ох будут равны нулю, и в равенствах условия 1 останутся два условия, равновесия
Из равенства условий 2 можно получить другую форму условий равновесия для параллельных сил
при этом точки А и В не должны лежать на прямой, параллельной силам.
При выборе различных форм условии равновесия следует выбирать ту форму, которая приводит к более простой системе уравнений. Наиболее простой системой является такая система, когда в каждое из уравнений входит по одному неизвестному. Для нахождения более простых уравнений рекомендуется:
при составлении уравнении проекции проводить координатную ось, перпендикулярную какой-либо неизвестной силе;
при составлении уравнений моментов брать центр моментов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.
Рис. 1.20 Условия равновесия при действии параллельных сил
При вычислении моментов можно, пользуясь теоремой Вариньона, разложить данную силу на две составляющие и находить момент как сумму моментов этих составляющих. Указанные условия равновесия используются для определения реакции опор, с помощью которых закрепляются различные конструкции, балки, фермы.